On note {CS_{n}} l’inégalité de Cauchy-Schwarz : {\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\Bigr)^{2}\le \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}}
Exercice 1.
Montrer que pour tous {x,y,z} dans {\mathbb{R}^{+}}, on a :
{\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6(x+y+z)}} |
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Exercice 2.
Montrer que pour tous {x,y,z} dans {\mathbb{R}^{+*}}, on a :
{x+y+z\le 2\Bigl(\dfrac{x^{2}}{y+z}+\dfrac{y^{2}}{x+z}+\dfrac{z^{2}}{x+y}\Bigr)} |
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Exercice 3.
On se donne {(x_{k})_{1\le k\le n}} dans {\mathbb{R}^{+*}}.
On pose {G_{n}=\Bigl(\displaystyle\prod_{k=1}^{n}x_{k}\Bigr)^{1/n}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\ln^{2}(x_{k})\ge n\ln^{2}(G_{n})}.
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Exercice 4.
On se donne {(x_{k})_{1\le k\le n}} dans {\mathbb{R}^{+}}.
Minimiser {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}} si on suppose {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}=1}.
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Exercice 5.
On se donne {(x_{k})_{1\le k\le n}} et {(y_{k})_{1\le k\le n}} dans {\mathbb{R}}.
Montrer que : {\sqrt{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(x_{k}+y_{k})^{2}}\le
\sqrt{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}}+\sqrt{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}}} |
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Exercice 6.
Montrer que {\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\sqrt{\binom{n}{k}}\le\sqrt{(n+1)2^{n}}}.
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Exercice 7.
On se donne {(x_{k})_{1\le k\le n}} dans {]0,1[}.
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Prouver l’inégalité : {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1-x_{k}}{x_{k}}\ge n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(1-x_{k})}
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En déduire {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}}{1-x_{k}}\ge\dfrac{n\sigma}{n-\sigma}} où {\sigma=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}}
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