Tchebychev et Weierstrass (1/2)

Partie I | Partie II


On se propose d’établir le résultat suivant (théorème de Weierstrass) :

Soit {f :[a,b]\to\mathbb{R}} une application continue.

Pour tout {\varepsilon>0}, il existe {P\in\mathbb{R}[X]} tel que :{\forall\, x\in[a,b],\;\left|{f(x)-P(x)}\right|\le\varepsilon}

Ainsi toute application continue sur un segment peut être approchée uniformément sur ce segment par une suite de polynômes.

Partie I. Polynômes de Tchebychev

Dans cette partie, {n} est un donné dans {\mathbb{N}^*}.

Pour {x\in[-1,1]}, on pose {T_n(x)=\cos(n\arccos x)}.

Question I.1.a
Expliciter {T_n(x)} si {n=1} ou {n=2}.
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Question I.1.b
Montrer que pour tout {x} de {[-1,1]}, on a : {T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_n(x)}
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Question I.1.c
Montrer que {T_n} est un polynôme de degré {n}.
Quel est son coefficient dominant?
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Question I.2.a
Montrer que {T_n} possède {n} racines distinctes dans {]\!-\!1,1[}, que l’on calculera.
On notera {a_1,\ldots,a_n} ces racines, avec : {1>a_1>a_2>\cdots>a_{n-1}>a_n>-1}
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Question I.2.b
Avec les notations précédentes, calculer {T_n'(a_k)} et {T_n''(a_k)} en fonction de {k,n,a_k}.
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Question I.2.c
Pour{1\le k\le n}, on pose {T_n(x)=(x-a_k)Q_k(x)}.

Calculer {Q_k(a_k)} et {Q_k'(a_k)} en fonction de {k,n,a_k}.

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Soit {k} un élément de {\{1,2,\ldots,n\}}.

On rappelle que {\delta_{j\,k}=\begin{cases}0\;\text{si}\;j\ne k\\[3pt]1\;\text{si}\;j=k\end{cases}}

Question I.3.a
Montrer qu’il existe un unique polynôme {U_k}, de degré {2n\!-\!1}, tel que, pour tout {j\in\{1,\ldots,n\}} : {U_k(a_j)=\delta_{j\,k}\quad\;\text{et}\;\quad U_k'(a_j)=0}Montrer que : {U_k=\dfrac1{n^2}\,(1-a_kx)\,Q_k^2}.

Indication : montrer que {U_k}, s’il existe, est nécessairement divisible par {Q_k^2}.

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Question I.3.b
Montrer que, sur le segment {[-1,1]} : {U_k(x)\ge0\;\text{et}\;\displaystyle\sum_{k=1}^nU_k(x)=1}
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