Partie I | Partie II
On se propose d’établir le résultat suivant (théorème de Weierstrass) :
Soit {f :[a,b]\to\mathbb{R}} une application continue.
Pour tout {\varepsilon>0}, il existe {P\in\mathbb{R}[X]} tel que :{\forall\, x\in[a,b],\;\left|{f(x)-P(x)}\right|\le\varepsilon}
Ainsi toute application continue sur un segment peut être approchée uniformément sur ce segment par une suite de polynômes.
Partie I. Polynômes de Tchebychev
Dans cette partie, {n} est un donné dans {\mathbb{N}^*}.
Pour {x\in[-1,1]}, on pose {T_n(x)=\cos(n\arccos x)}.
| Question I.1.a Expliciter {T_n(x)} si {n=1} ou {n=2}. |
| Question I.1.b Montrer que pour tout {x} de {[-1,1]}, on a : {T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_n(x)} |
| Question I.1.c Montrer que {T_n} est un polynôme de degré {n}. Quel est son coefficient dominant? |
| Question I.2.a Montrer que {T_n} possède {n} racines distinctes dans {]\!-\!1,1[}, que l’on calculera. On notera {a_1,\ldots,a_n} ces racines, avec : {1>a_1>a_2>\cdots>a_{n-1}>a_n>-1} |
| Question I.2.b Avec les notations précédentes, calculer {T_n'(a_k)} et {T_n''(a_k)} en fonction de {k,n,a_k}. |
| Question I.2.c Pour{1\le k\le n}, on pose {T_n(x)=(x-a_k)Q_k(x)}. Calculer {Q_k(a_k)} et {Q_k'(a_k)} en fonction de {k,n,a_k}. |
Soit {k} un élément de {\{1,2,\ldots,n\}}.
On rappelle que {\delta_{j\,k}=\begin{cases}0\;\text{si}\;j\ne k\\[3pt]1\;\text{si}\;j=k\end{cases}}
| Question I.3.a Montrer qu’il existe un unique polynôme {U_k}, de degré {2n\!-\!1}, tel que, pour tout {j\in\{1,\ldots,n\}} : {U_k(a_j)=\delta_{j\,k}\quad\;\text{et}\;\quad U_k'(a_j)=0}Montrer que : {U_k=\dfrac1{n^2}\,(1-a_kx)\,Q_k^2}. Indication : montrer que {U_k}, s’il existe, est nécessairement divisible par {Q_k^2}. |
| Question I.3.b Montrer que, sur le segment {[-1,1]} : {U_k(x)\ge0\;\text{et}\;\displaystyle\sum_{k=1}^nU_k(x)=1} |