Suite récurrente paramétrée (1/2)

Partie I | Partie II


On pourra admettre le résultat suivant (égalité des accroissements finis) :

  • Soit {I} un intervalle de {\mathbb{R}} et soit {f :I\to\mathbb{R}} une application dérivable.
    Soient {x,y} dans {I}, avec {x\lt y}. Alors : {\exists\,c\in]x,y[,\;f(y)\!-\!f(x)=(y\!-\!x)f'(c)}

Soit {\lambda\in\mathbb{R}^{+*}} et : {\forall\,x\in\mathbb{R},\;f(x)=x+\lambda\left(\dfrac18-x^3\right)}
Soit {a} un réel. On pose {\begin{cases}u_0=a\\\forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=f(u_n)\end{cases}}

PARTIE I

Question 1.(a)
Si la suite {u} est convergente dans {\mathbb{R}}, quelle est sa seule limite possible?
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Question 1.(b)
Montrer que pout tout {x} de {\mathbb{R}} : {x\le\dfrac12\Rightarrow f(x)\ge x\;\;\text{et}\;\;x\ge\dfrac12\Rightarrow f(x)\le x}
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Dans les questions {2,3,4}, on suppose :{0\lt \lambda\le\dfrac47\;\text{et}\;0\le a\le1}

Question 2.(a)
Montrer que {0\le x\le\dfrac12\Rightarrow f(x)\le\dfrac12}.
Montrer que {\dfrac12 \le x\le 1\Rightarrow \dfrac12 \le f(x)}.
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Question 2.(b)
Préciser la monotonie et la limite de la suite {u}, suivant les valeurs de {a}.
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Question 3.(a)
Montrer que si {\dfrac12\le x\le 1} alors :{0\le f(x)-\dfrac12\le\left(x-\dfrac12\right) f'\left(\dfrac12\right)}
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Question 3.(b)
En déduire que si {\dfrac12\le a\le 1} alors : {\forall n\in\mathbb{N},\;0\le u_n-\dfrac12\le\dfrac12 \left(1-\dfrac34\lambda\right)^n}
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Question 4.(a)
Montrer que si {0\le x\le \dfrac12} alors :{0\le \dfrac12-f(x)\le\left(\dfrac12-x\right)f'(x)}
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Question 4.(b)
En déduire que si {0\le a\le \dfrac12} alors : {\forall n\in\mathbb{N}^*,\;0\le \dfrac12-u_n\le\dfrac12\left(1-\dfrac3{64}\lambda^3\right)^{n-1}}
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