Fonctions dilatantes

Soit {f} une fonction continue de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}.

On suppose que {f} est « dilatante »: {\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;\left|f(y)-f(x)\right|\ge\left|y-x\right|}

Question 1.(a)
Montrer que {f} est injective.
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Question 1.(b)
Montrer que {f} est strictement monotone.
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Question 1.(c)
Montrer que {f} est non bornée et bijective.
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On suppose qu’il existe {a} et {b} dans {\mathbb{R}}, avec {a\lt b}, tels que {f([a,b])\subset[a,b]}.

Question 2.(a)
Montrer qu’il existe {c\in[a,b]} tel que {f(c)=c}.
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Question 2.(b)
On suppose que {f} est croissante.
Peut-on avoir {f(a)>a} ou {f(b)\lt b}?
Déterminer la restriction de {f} au segment {[a,b]}.
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Question 2.(c)
On suppose que {f} est décroissante.
Déterminer sa restriction à {[a,b]}.
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On suppose désormais que {f} est croissante.

Soit {\Gamma} la courbe représentative de {f} dans un repère orthonormé {Oxy}.

Question 3.(a)
On suppose que {f(x)\lt x} pour tout {x} réel.
Montrer qu’alors {\Gamma} admet en {+\infty} une asymptote parallèle à la droite {y=x}.
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Question 3.(b)
Que dire de {\Gamma} si on a {x\lt f(x)} pour tout {x} réel?
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Question 3.(c)
Soit {U} l’ensemble des {x} de {\mathbb{R}} tels que {f(x)=x}.
Montrer que si {U} est vide, on se trouve dans l’un des deux cas précédents.
Montrer que si {U} est non vide et borné, il est réduit à un point ou à un segment.
Quelle peut être la nature de {U} s’il est non borné?
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Question 3.(d)
Expliciter une fonction {f} croissante pour chacune des formes de {U} possibles.
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Question 4.
On suppose que {U} est non vide.
On considère la suite {(x_n)} définie par {u_0} dans {\mathbb{R}} et {u_{n+1}=f^{-1}(u_{n})} pour tout {n}.
Montrer que cette suite est soit constante, soit convergente vers un point frontière de {U}.
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