Fonctions dilatantes

Soit {f} une fonction continue de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}.

On suppose que {f} est « dilatante »: {\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;\left|f(y)-f(x)\right|\ge\left|y-x\right|}

Question 1.(a) Montrer que {f} est injective.

Question 1.(b) Montrer que {f} est strictement monotone.

Question 1.(c) Montrer que {f} est non bornée et bijective.

On suppose qu’il existe {a} et {b} dans {\mathbb{R}}, avec {a\lt b}, tels que {f([a,b])\subset[a,b]}.

Question 2.(a) Montrer qu’il existe {c\in[a,b]} tel que {f(c)=c}.

Question 2.(b) On suppose que {f} est croissante. Peut-on avoir {f(a)>a} ou {f(b)\lt b}? Déterminer la restriction de {f} au segment {[a,b]}.

Question 2.(c) On suppose que {f} est décroissante. Déterminer sa restriction à {[a,b]}.

On suppose désormais que {f} est croissante.

Soit {\Gamma} la courbe représentative de {f} dans un repère orthonormé {Oxy}.

Question 3.(a) On suppose que {f(x)\lt x} pour tout {x} réel. Montrer qu’alors {\Gamma} admet en {+\infty} une asymptote parallèle à la droite {y=x}.

Question 3.(b) Que dire de {\Gamma} si on a {x\lt f(x)} pour tout {x} réel?

Question 3.(c) Soit {U} l’ensemble des {x} de {\mathbb{R}} tels que {f(x)=x}. Montrer que si {U} est vide, on se trouve dans l’un des deux cas précédents. Montrer que si {U} est non vide et borné, il est réduit à un point ou à un segment. Quelle peut être la nature de {U} s’il est non borné?

Question 3.(d) Expliciter une fonction {f} croissante pour chacune des formes de {U} possibles.

Question 4. On suppose que {U} est non vide. On considère la suite {(x_n)} définie par {u_0} dans {\mathbb{R}} et {u_{n+1}=f^{-1}(u_{n})} pour tout {n}. Montrer que cette suite est soit constante, soit convergente vers un point frontière de {U}.