Pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, on pose : {\begin{cases}\varphi_n(t)=\dfrac{3n}{4}(1-n^2t^2)\text{ si }|t|\le \dfrac1n\\[9pt]\varphi_n(t)=0\text{ si }|t|> \dfrac1n\end{cases}}Soit {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}, continue.
On pose, pour {n\in\mathbb{N}^{*}} et {x\in\mathbb{R}} : {f_n(x)=\displaystyle\int_{-1/n}^{1/n}\varphi_n(t)f(x+t)\,\text{d}t}
| Question 1.(a) Tracer l’allure du graphe d’une fonction {\varphi_n}. La fonction {\varphi_{n}} est-elle continue, dérivable? |
| Question 1.(b) Calculer l’intégrale : {\displaystyle\int_{-1/n}^{1/n}\varphi_n(t)\,\text{d}t} |
| Question 2.(a) Montrer que {f_n(x) = \displaystyle\int_{x-1/n}^{x+1/n}\varphi_n(u-x)f(u)\,\text{d}u}. Former une expression de {f_n(x)} permettant d’affirmer que {f_n} est {C^{1}} sur {\mathbb{R}}. |
| Question 2.(b) Pour tout {x} réel, montrer que :{\begin{array}{rl}f'_n(x)&=\dfrac{3n^3}{2}\displaystyle\int_{x-1/n}^{x+1/n}(u-x)f(u)\,\text{d}u\\\\&= \dfrac{3n^3}{2}\displaystyle\int_{-1/n}^{1/n}tf(x+t)\,\text{d}t\end{array}} |
| Question 3.(a) Pour tout réel {x}, montrer : {|f_n(x)-f(x)|\leq M_n(x)} |
| Question 3.(b) Soit {J} un segment, et {K_n(J) = \max\limits_{x\in J}|f_n(x)\!-\!f(x)|} Montrer que {\displaystyle\lim_{n\to\infty}K_n(J)=0}. |
| Question 3.(c) Que peut-on en déduire pour la suite des {f_{n}}? |
On définit l’application {t\mapsto R_x(t)} par l’égalité :{f(x+t) = f(x) + tf'(x) + tR_x(t)}
| Question 4.(a) Pour tout {n} naturel non nul, montrer que :{f'_n(x) = f'(x) + \dfrac{3n^3}{2}\displaystyle\int_{-1/n}^{1/n}t^2R_x(t)\,\text{d}t} |
| Question 4.(b) En déduire que {\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n'(x) =f'(x)}. |