Approximation par convolution

Pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, on pose : {\begin{cases}\varphi_n(t)=\dfrac{3n}{4}(1-n^2t^2)\text{ si }|t|\le \dfrac1n\\[9pt]\varphi_n(t)=0\text{ si }|t|> \dfrac1n\end{cases}}Soit {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}, continue.

On pose, pour {n\in\mathbb{N}^{*}} et {x\in\mathbb{R}} : {f_n(x)=\displaystyle\int_{-1/n}^{1/n}\varphi_n(t)f(x+t)\,\text{d}t}

Question 1.(a)
Tracer l’allure du graphe d’une fonction {\varphi_n}.
La fonction {\varphi_{n}} est-elle continue, dérivable?
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Question 1.(b)
Calculer l’intégrale : {\displaystyle\int_{-1/n}^{1/n}\varphi_n(t)\,\text{d}t}
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Question 2.(a)
Montrer que {f_n(x) = \displaystyle\int_{x-1/n}^{x+1/n}\varphi_n(u-x)f(u)\,\text{d}u}.

Former une expression de {f_n(x)} permettant d’affirmer que {f_n} est {C^{1}} sur {\mathbb{R}}.

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Question 2.(b)
Pour tout {x} réel, montrer que :{\begin{array}{rl}f'_n(x)&=\dfrac{3n^3}{2}\displaystyle\int_{x-1/n}^{x+1/n}(u-x)f(u)\,\text{d}u\\\\&= \dfrac{3n^3}{2}\displaystyle\int_{-1/n}^{1/n}tf(x+t)\,\text{d}t\end{array}}
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Pour {x\in\mathbb{R}} et {n\in\mathbb{N}^{*}}, on pose :{\begin{array}{rl}I_n(x)&= \Bigl[ x\!-\!\dfrac{1}{n}, x\!+\!\dfrac{1}{n}\Bigr]\\\\M_n(x) &= \max\limits_{u\in I_n(x)} |f(u)\!-\!f(x)|\end{array}}
Question 3.(a)
Pour tout réel {x}, montrer : {|f_n(x)-f(x)|\leq M_n(x)}
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Question 3.(b)
Soit {J} un segment, et {K_n(J) = \max\limits_{x\in J}|f_n(x)\!-\!f(x)|}
Montrer que {\displaystyle\lim_{n\to\infty}K_n(J)=0}.
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Question 3.(c)
Que peut-on en déduire pour la suite des {f_{n}}?
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On suppose que {f} est dérivable en un point {x} de {\mathbb{R}}.

On définit l’application {t\mapsto R_x(t)} par l’égalité :{f(x+t) = f(x) + tf'(x) + tR_x(t)}

Question 4.(a)
Pour tout {n} naturel non nul, montrer que :{f'_n(x) = f'(x) + \dfrac{3n^3}{2}\displaystyle\int_{-1/n}^{1/n}t^2R_x(t)\,\text{d}t}
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Question 4.(b)
En déduire que {\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n'(x) =f'(x)}.
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