Wallis et Stirling

Partie I. Intégrales de Wallis

On note {I_n=\displaystyle\int_{0}^{\,\pi/2}\!\!\!\sin^{n}x\,\text{d}x}, pour tout entier {n\in\mathbb{N}}.

Question 1.(a)
Montrer que {n\mapsto I_n} décroît et converge.
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Question 1.(b)
Pour tous {a\in\Big]\,0,\dfrac\pi2\,\Big[} et {n\in\mathbb{N}}, montrer que :{0\le I_n\le a+\dfrac\pi2\cos^n a}En déduire que {\displaystyle\lim_{n\to\infty}I_n=0}.
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Question 2.(a)
Pour {n\ge2}, trouver une relation entre {I_n} et {I_{n-2}}.
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Question 2.(b)
En déduire l’expression de {I_{2n}} et de {I_{2n+1}} à l’aide de factorielles.
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Question 3.(a)
Montrer que la suite {n\mapsto u_n=(n+1)I_{n+1}I_n} est constante et calculer sa valeur.
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Question 3.(b)
Montrer {\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{I_{n+1}}{I_n}=1}. En déduire {I_n\underset{\infty}{\sim}\sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}}
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Question 4.
Appliquer la formule d’intégration approchée par la méthode du trapèze à {x\mapsto \ln x} sur {[n,n+1]}.

En déduire l’encadrement : {0\le\Bigl(n+\dfrac12\Bigr)\bigl(\ln(n+1)-\ln(n)\bigr)-1\le\dfrac{1}{12n^2}}

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Partie II. Formule de Stirling

Pour tout {n\ge2}, on pose :{u_n\! =\!\ln\Bigl(n^{n}\sqrt{n}\,\text{e}^{-n}\Bigr)\!-\!\ln(n!)\;\text{et}\;v_n\!=\!u_n\!+\!\dfrac{1}{12(n-1)}}

Question 5.(a)
Montrer que {(u_n)_{n\ge2}} et {(v_n)_{n\ge2}} sont adjacentes.
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Question 5.(b)
On note {C=\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}v_n}.
Montrer l’égalité : {2u_n-u_{2n}=\ln\Bigl(\dfrac{I_{2n}\sqrt{2n}}{\pi}\Bigr)}.
En déduire : {C=-\dfrac12\ln(2\pi)}.
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Question 5.(c)
Prouver finalement la formule de Stirling : {n!\sim n^n\text{e}^{-n}\sqrt{2\pi n}}
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