Sommes des 1/n² et intégration

Question 1.
Pour tout {k} de {\mathbb{Z}^{*}}, calculer :{\displaystyle\int_0^1t\cos(k\pi t)\,\text{d}t\;\text{et}\;\displaystyle\int_0^1t^2\cos(k\pi t)\,\text{d}t}
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Question 2.
Montrer qu’il existe {(a,b)} de {\mathbb{R}^{2}} tel que : {\displaystyle\forall\, k\in\mathbb{Z}^{*},\;\displaystyle\int_0^1(at^2+bt)\cos(k\pi t)\,\text{d}t = \dfrac{1}{k^2}}
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Question 3.
Avec ce couple {(a,b)}, en déduire une expression de :{\displaystyle\int_0 ^1(at^2+bt)\Bigl( \dfrac{1}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^n \cos (k\pi t)\Bigr)\,\text{d}t}
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Question 4.
Pour {\begin{cases}n\ge1\\0\!\lt\!\theta\!\lt\!\pi\end{cases}} soit {S_n(\theta)=1\!+\!2\displaystyle\sum_{k=1}^n\cos (2k\theta)}.
Exprimer {S_n(\theta)} comme un quotient de sinus.
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Question 5.
Soit {f :[0,1]\to\mathbb{R}}, de classe {\mathcal{C}^1} sur {[0,1]}.
Montrer que {\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty} \displaystyle\int _0 ^1 f(t) \sin(\lambda t) \,\text{d}t=0}.
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Question 6.
Soit {f:]0,1]\to\mathbb{R}} définie par {f(t)=\dfrac{\pi^2 (t^2-2t)}{4\sin(\pi t/2)}}.
Montrer que {f} se prolonge de façon {\mathcal{C}^1} sur {[0,1]}.
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Question 7.
De ce qui précède, déduire : {\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}=\dfrac{\pi^{2}}{6}}.
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