Puissances de z = 0.28+0.96i

Soit {\Omega=\{z\in\mathbb{C},\;|z|=1}.

Soit {\theta} le réel de {[0,2\pi[} tel que {\begin{cases}\cos\theta=0.28\cr\sin\theta=0.96\end{cases}}

Pour tout {p\in\mathbb{N}}, on pose {z_p=\exp(ip\theta)}.

Question 1(a).
Montrer l’égalité : {|z_p\!-\!z_q|=2\left|\sin (p\!-\!q)\dfrac\theta2\right|}
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Question 1(b).
Calculer {\cos\dfrac\theta2} et {\sin\dfrac\theta2}.

En déduire : {\forall \;p,q\in \mathbb{N},\;|z_p-z_q|\in\mathbb{Q}}.

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On pose : {\forall \;k\in \mathbb{N},\;\omega_k=z_{{}_{2^k}}} (par exemple {\omega_3=z_8}).

Question 2(a).
Montrer {\text{Re}(\omega_k)=a_k10^{-(2^{k+1})}}, où {a_k\in\mathbb{Z}-10\mathbb{Z}}.
Indication : noter que {(28+96i)^{2^k}=a_k+ib_k}, où {a_k\equiv 8(10)}, {b_k\equiv6(10)}.
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Question 2(b).
En déduire que les {\omega_k} sont distincts deux à deux.
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Question 2(c).
Montrer que les {z_k} sont deux à deux distincts.
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Question 2(d).
En déduire que {\dfrac\theta\pi} est irrationnel.
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Pour tout entier {n\geq 2}, on pose :{d_n=\inf\{|z_p-z_q|,\;0\leq p,q\leq n-1,\;p\neq q\}}
Question 3(a).
Montrer que, pour tout {n\geq 2}, {d_n\leq 2\sin \dfrac\pi n}.
En déduire : {\displaystyle\lim_{+\infty}d_n=0}.
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Question 3(b).
Soit {\varepsilon\gt 0} donné, et soit {c} dans {\Omega}.
Montrer qu’il existe {n\in\mathbb{N}} tel que {|c-z_n|\leq\varepsilon}.
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