Inégalité arithmético-géométrique

Étant donnés {n} réels {a_1,a_2,\ldots,a_n} positifs ou nuls, avec {n\ge2}, on définit :

  • La moyenne géométrique des {a_k} :{G_{n}=\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}}
  • La moyenne arithmétique des {a_k} :{M_{n}=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}}

On se propose de montrer l’inégalité {G\le M} par récurrence sur {n}. L’idée de cette démonstration est attribuée à Leonhard Euler.

Question 1.
Que se passe-t-il si l’un au moins des {a_{k}} est nul?
Dans toute la suite, on supposera donc que les {a_{k}} sont strictement positifs.
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Question 2.
Montrer que la propriété est vraie au rang {2} et préciser le cas d’égalité.
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Question 3.
Montrer que si la propriété est vraie au rang {n\ge1}, alors elle est vraie au rang {2n}.
Indication : noter {M_1} et {G_1} (resp. {M_2} et { G_2}) les moyennes arithmétique et géométrique de {a_1,\ldots,a_n} (resp. {a_{n+1},\ldots,a_{2n}}), et {M,G} celles de {a_1,\ldots,a_n,\ldots,a_{2n}}.
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Question 4.
Montrer que si la propriété est vraie au rang {n\ge3}, alors elle est vraie au rang {n-1}.
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Question 5.
Montrer que la propriété est vraie pour tout {n\ge1}.
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Question 6.
Montrer que l’inégalité {G\le M} est une égalité si et seulement si tous les {a_{k}} sont égaux.
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