Séries entières

Exercices corrigés

Série entière des ln(n)x^n

(Oral Mines-Ponts)
On pose {H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}.
Soit {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}H_n x^{n}} et {g(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \ln (n) x^{n}}
Donner le rayon de {f} et {g}, et calculer {f(x)}.
Montrer que {f(x) \underset{1}\sim g(x)} et trouver {\displaystyle\lim_{-1}g(x)}.

Nombres de Bell

(Oral Centrale 2018)
On pose {u_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}.
Écrire une fonction Python calculant {u_n}.
Conjecturer la valeur de {\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}\dfrac{k^{n}}{k!}}.
Prouver cette conjecture. Calculer {f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}.