Espaces vectoriels normés

Exercices corrigés

Deux normes équivalentes

(Oral Mines-Ponts)
On note {E=\mathcal{C}^{1}([0,1],\mathbb{R})}.
Soit {\varphi \in E} telle que {J=\displaystyle\int_{0}^{1}\varphi (t)\mathrm{d}t\neq 0}.
Pour toute {f\in E}, on pose : {\begin{array}{rl}N(f)&=|f(0)|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\\[9pt]N_{\varphi}(f)&=\left\vert \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\varphi (t)\mathrm{d}t\right|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\end{array}}Montrer que {N} et {N_{\varphi}} sont des normes équivalentes.

Inégalités entre distances

Soit {x,y,z,t} quatre vecteurs d’un espace vectoriel normé E. Montrer que :
{\begin{array}{rl}\left\|{x\!-\!t}\right\|+\left\|{y\!-\!z}\right\|&\le\left\|{x\!-\!y}\right\|+\left\|{y\!-\!t}\right\|\\[6pts]&\quad+\left\|{t\!-\!z}\right\|+\left\|{z\!-\!x}\right\|\end{array}}