Espaces préhilbertiens

Exercices corrigés

Conservation des distances et linéarité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel.
Soit

{f\colon E\to E}

vérifiant

{f(0)=0}

et :

{\forall\,(x,y)\in E^{2},\;\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|}

Montrer que

{(f(x)\mid f(y))=( x\mid y)}

Montrer que

{f}

est linéaire.

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Projection orthogonale dans Rn[X]

(Oral Mines-Ponts)
On munit

{E=\mathbb{R}_{n}[X]}

du produit scalaire

{(P\mid Q)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}

Soit

{A\ne0}

dans

{E}

. Pour tout

{P\in E}

, on note

{f_{A}(P)}

le reste de la division euclidienne de

{P}

par

{A}

.
Montrer que

{f_{A}}

est un endomorphisme de

{E}

. À quelle condition est-ce un projecteur orthogonal?

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Distance à deux supplémentaires

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{F,G}

deux sous-espaces de

{E}

euclidien.
Montrer que

{F}

{G}

sont supplémentaires orthogonaux si et seulement si :

{\forall\, x\in E,\;\|x\|^{2}=d(x,\ F)^{2}+d(x,\ G)^{2}}

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Projection orthogonale sur un plan

Soit

{\mathbb{R}^{3}}

euclidien, muni de la base canonique.
Soit

{P}

le plan vectoriel orthogonal à

{n=(1,1,1)}

.
Donner la matrice

{A}

de la projection orthogonale

{\pi}

sur

{P}

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Convergence faible

(Oral CCInp)
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une suite

{(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}}

de vecteurs de

{E}

converge faiblement vers

{x\in E}

si :

{\forall y\in E,\;\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_{n}-x\mid y) =0}

On suppose que

{E}

est de dimension finie.
Montrer que

{(x_{n})}

converge faiblement vers

{x}

si et seulement si

{\lim\limits_{n\rightarrow+\infty }||x_{n}-x||=0}

.
Montrer que c’est faux en dimension infinie.

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(AX|X) = 0 pour tout X

(Oral Mines-Ponts)
Préciser l’ensemble

{E}

des

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telles que :

{\forall\, X\in \mathbb{R}^n,\;X^{\top}AX=0}

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Orthogonal non supplémentaire

Oral Centrale
On munit

{\mathbb{R}[X]}

{\left(A\mid B\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}

.
Soit

{H=\text{Ker}(\varphi)}

avec

{\varphi(A)=\displaystyle\int_{-1}^{1}\left|t\right|A(t)\,\text{d}t}

.
A-t’on l’égalité

{\mathbb{R}[X]=H\oplus H^{\bot}}

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Matrice et inégalité “à la Bessel”

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{\|AX\|\leq \|X\|}

pour tout

{X}

Soit

{X\in E}

{Y=A^{T}X}

. Montrer que

{(A^{T}X\mid Y)=\|Y\|^{2}}

{\|Y\|\leq\|X\|}

On suppose qu’il existe

{X\in E}

tel que

{AX=X}

. Montrer que

{A^{T}X=X}

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Vecteurs obtusangles

(Oral Centrale 2018)
Dans

{\mathbb{R}^n}

, soit

{v_{1}\ldots,v_{n+1}}

avec

{(v_{i}\mid v_{j})=-1}

{i\neq j}

.
Soit

{w_{1},\ldots,w_{n+1}}

tels que

{(v_{i}\mid v_{j})=(w_{i}\mid w_{j})}

pour tous

{i,j}

. Montrer qu’il existe un unique

{u\in O(\mathbb{R^n})}

tel que

{u(v_{i})=w_{i}}

pour tout

{i}

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Projecteur et transposition

(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les matrices

{M}

de projecteurs telles que

{M^{T}M=M\,M^{T}}

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Polynômes orthogonaux

(Oral Centrale)
On étudie une famille de polynômes orthogonaux pour

{(f\mid g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)\varphi(t)\,\text{d}t}

On montre qu’ils sont scindés simples sur

{\mathbb{R}}

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Famille obtusangle

(Oral Centrale)
On se donne

{(e_{1},\ldots,e_{p})}

dans

{\mathbb{R}^{n}}

euclidien, tels que

{(e_{i}\mid e_{j})\lt 0}

pour

{i\neq j}

.
Montrer que

{(e_{1},\ldots,e_{p-1})}

est libre. Conséquence?

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Un produit scalaire entre polynômes

(Oral Centrale Mp)
Étude de

{\left(f\mid g\right)=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})}

, où

{c_k=\cos\Bigl(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr)}

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Distance à un sous-espace

Dans un espace euclidien

E

, on introduit la notion de matrice de Gram d’une famille de vecteurs.
On voit ensuite comment la distance d’un vecteur

x

à un sous espace

F

E

s’exprime comme le quotient des déterminants de deux matrices de Gram.

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Forme linéaire et produit scalaire

On munit

{E=\mathbb{R}[X]}

du produit scalaire

{\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}

.
Existe-t-il

{A\in E}

tel que :

{\forall\, P\in E,\;P(0)=\,\left({A}\mid{P}\right)}

?
Même question avec

E=\mathbb{R}_n[X]

. Que dire sur

A

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Minimum d’une intégrale

Calculer le minimum de

{I_{a,b}=\displaystyle\int_{0}^{1}(t\ln(t)-at-b)^2\,\text{d}t}

, et pour quels

{a,b}

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Une base orthonormale

Dans

{E}

préhilbertien réel, soit

{(e_k)_{1\le k\le n}}

unitaires tels que :

{\forall\, x\in E,\;\left\|{x}\right\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left({e_k}\mid{x}\right)^2}

Montrer que

{(e_k)_{1\le k\le n}}

est une base orthonormée de

{E}

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Éléments propres de M quand MM^T=M^TM

Soit

{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, avec

{M{M}^{\top}={M}^{\top}M}

.
Montrer que

{M,{M}^{\top}}

ont mêmes sev propres, et qu’ils sont orthogonaux deux à deux.

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Noyau de M+M^T quand M²=0

Soit

{M}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, telle que

{M^{2}=0}

.
Montrer que

{\text{Ker}(M+{M}^{\top})=\text{Ker}(M)\cap\text{Ker}({M}^{\top})}

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Conservation de l’orthogonalité

Soit

{E}

un espace vectoriel euclidien, et soit

{f\in{\mathcal L}(E)}

.
On suppose que :

{\forall\, (u,v)\in E^{2},\;\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}

Montrer :

{\exists\,\lambda\ge0,\;\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}

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