Séries numériques

Exercices corrigés

La règle de Raabe-Duhamel

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{\alpha \in\mathbb{R}}

et

{\left(u_{n}\right)_{n\ge0}}

une suite de

{\mathbb{R}^{+*}}

.
On suppose que

{\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=1-\dfrac{\alpha}{n}+\text{O}\left(\dfrac{1}{n^{2}}\right)}

.
Déterminer la nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n}

.

Intégrales et séries

(Oral Ensam)
On pose

{a_{n}=-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{n}\ln t}{t+1}\,\text{d}t}

Montrer que

{(a_{n})}

est définie, et déterminer sa limite.
Déterminer un équivalent de

{a_{n}}

.
Calculer

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}}

et

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}

.

Suite implicite et série

(Oral Inp)
Pour

{n\ge2}

, on pose

{f_{n}(x)=\text{e}^{x}+x-n}

.
Montrer que :

{\exists!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;f_{n}(u_{n})=0}

.
Déterminer un équivalent de

{u_{n}}

.
on pose

{v_{n}=u_{n}-a\ln(n)-\dfrac{b}{n}\ln(n)}

.
Trouver

{a,b}

tels que

{\displaystyle\sum v_{n}}

converge.

Séries (plus ou moins) alternées

Six exercices sur le thème des séries numériques (plus ou moins) alternées.

Une série de produits

(Oral Ccp)
Soit

{(a_{n})_{n\geq 1}}

une suite de

{\mathbb{R}^+}

.
On pose :

{u_{n}=\dfrac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right) \ldots \left(1+a_{n}\right)}}

Calculer

{u_{1}+u_{2}}

, et généraliser.
Montrer que la série

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_{n}}

converge.
Calculer

{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}}

quand

{a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}}

.

Nature de séries avec paramètres

Six exercices où il est question de déterminer la nature d’une série dont le terme général dépend de un ou deux paramètres.

Suites récurrentes et séries

Cinq exercices sur le thème « suites récurrentes et séries ». On étudie des séries numériques liées à une suite définie par une récurrence

{u_{n+1}=f(u_n)}

Un calcul de somme de série

(Oral Tpe)
Calculer

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}

, où

{u_n=\dfrac{1}{n(2n-1)2^n}}

.

Des séries à somme entière

(Oral Ccp)
Pour

{p\in\mathbb{N}}

, justifier l’existence de

{S_{p}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^{p}}{2^{n}}}

.
Exprimer

{S_{p}}

en fonction de

{S_{0},\ldots,S_{p-1}}

.
Montrer que :

{\forall\,p\in\mathbb{N},\;S_{p}\in\mathbb{N}}

.

Permutation des termes d’une série

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{n\in\mathbb{N}^*}

, on pose

{\begin{cases}\sigma(3n)=4 n\\\sigma(3n-1)=2n-1\\\sigma(3 n-2)=4n-2\end{cases}}

Montrer que

{\sigma}

est bijective.
On pose

{u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n}}

et

{v_{n}=u_{\sigma(n)}}

.
Convergence et sommes de

{\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n}

et

{\displaystyle\sum_{n\ge1} v_n}

.

Encore une série d’intégrales

(Oral Ccp)
On pose

{u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n}\sin (\pi x)\,\text{d}x}

.
Étudier la convergence de

{\displaystyle\sum_{n\ge0} u_{n}}

.
Montrer que :

{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi }\dfrac{\sin t}{t}dt}

.

Somme d’une série d’intégrales

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{(p,q)\in\mathbb{N}^{2}}

, calculer

{I_{p,q}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{p}(1-t)^{q}\,\text{d}t}

.
Déterminer la nature et la somme de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}I_{n,n}}

.

La formule de Simon Plouffe

(Oral XEns)
On va prouver que

{\pi=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}}

où :

{u_{k}\!=\!\dfrac{1}{16^{k}}\Bigl(\dfrac{4}{8k+1}\!-\!\dfrac{2}{8k+4}\!-\!\dfrac{1}{8k+5}\!-\!\dfrac{1}{8k+6}\Bigr)}

Soit ${a\in]0, 1[}$ . Montrer que pour ${n,p\in\mathbb{N}^*}$ : ${\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{x^{n-1}}{1-x^{p}}\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{a^{kp+n}}{kp+n}}$
En déduire que :
${\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}=16\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^5+t^4+2t^3-4}{t^8-16}\,\text{d}t}$ Simplifier ${R(X)=\dfrac{X^5+X^4+2X^3-4}{X^{8}-16}}$ .
Conclure.
➡️

Sommes partielles et équivalents

(Oral XEns)
On suppose

{S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}\sim\dfrac{1}{a_{n}}}

(avec les

{a_n\gt 0}

)
Montrer que

{\displaystyle\sum a_n}

diverge et

{\displaystyle\lim_{+\infty}a_n=0}

.
Montrer

{\begin{cases}S_{n+1}\sim S_{n}\\\displaystyle\lim_{+\infty}(S_{n+1}^{2}-S_{n}^{2})=2\end{cases}}

puis

{a_{n}\sim \dfrac{1}{\sqrt{2n}}}

.
Réciproque : montrer que

{b_n\sim\dfrac{1}{\sqrt{2n}}\Rightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{n}b_{k}\sim\dfrac{1}{b_{n}}}

.

Encadrement de la somme d’une série

(Oral Ensam)
Soit, pour

{n\in\mathbb{N}^*}

:

{u_n=\Bigl(\dfrac{n}{n+1}\Bigr)^{n^2}}

.
Montrer que la série

{S=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}

converge.
Majorer son reste d’indice

{n}

en fonction de

{u_{n+1}}

.
Encadrer

{S}

au moyen de deux sommes partielles consécutives.

Deux séries de même nature

(Oral Centrale)
Soit

{(u_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{R}^\mathbb{N}}

telle que

{u_n\rightarrow 0}

.
Soit

{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3}

tel que

{a+b+c\ne 0}

.
On pose

{v_n=au_n+bu_{n+1}+cu_{n+2}}

Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n}

et

{\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n}

sont de même nature.

Série des restes d’une série

(Oral Ensam)
On pose, pour

{n\in\mathbb{N}^*}

:

{u_n=\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{(-1)^k}{k}}

.
Justifier l’existence de

{u_n}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n}

converge et calculer sa somme.

Série et sommes partielles

(Oral Centrale)
Soit

{(u_n)_{n\geq 1}}

une suite de

{\mathbb{R}^{+*}}

.
Soit

{v_n=\dfrac{u_n}{S_{n}}}

où

{S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_k}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n}

et

{\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n}

ont même nature.

La série des j^n/n

(Oral Centrale)
Nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n}

où

{u_n=\dfrac{j^n}{n}}

?

Série et transformation d’Abel

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(u_n)_{n\geq 1}}

une suite positive décroissante.
On suppose que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n}

converge.
On pose

{v_n= n(u_{n}-u_{n+1})}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n}

converge.
Exprimer sa somme en fonction de

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}

.