Convergence absolue

Plan du chapitre "Séries numériques"

Définition (convergence absolue d'une série numérique)
On dit que la série

{\displaystyle\sum u_n}

est absolument convergente si la série

{\displaystyle\sum\left|u_n\right|}

est convergente.

Proposition (la convergence absolue implique la convergence)
Si

{\displaystyle\sum u_n}

est absolument convergente, alors elle est convergente et

{\Bigl|\displaystyle\sum_{n=0}^\infty u_n\Bigr|\le\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\left|u_n\right|}

Définition (complément: série semi-convergente)
Si

{\displaystyle\sum u_n}

est convergente, mais n’est pas absolument convergente, elle est dite semi-convergente.

La série harmonique alternée ${\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}}$ est sans doute l’exemple type de série semi-convergente.

Proposition (critère suffisant de convergence absolue par domination)
Soit

{(z_{n})}

une suite complexe, et soit

{(v_{n})}

une suite d’éléments de

{\mathbb{R}^{+}}

.
Si

{z_{n}=\texttt{O}(v_{n})}

, et si

{\displaystyle\sum v_{n}}

converge, alors

{\displaystyle\sum z_{n}}

est absolument convergente.

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