Séries entières d'une variable réelle

Plan du chapitre "Séries numériques"

Définition (série entière d'une variable réelle)
Soit

{(a_{n})_{n\ge0}}

une suite de nombres réels ou complexes.
Soit

{x}

une variable réelle.
On dit que la série numérique

{\displaystyle\sum a_{n}x^{n}}

est une série entière de coefficients

{a_{n}}

.
La fonction

{x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}}

est appelée somme de la série entière.

Remarque : la fonction ${S}$ est toujours définie au moins en ${0}$ , et on a ${S(0)=a_{0}}$ .

La série entière ${\displaystyle\sum x^{n}}$ est définie sur ${]-1,1[}$ et sa somme est ${\dfrac{1}{1-x}}$ .
${\displaystyle\sum \dfrac{x^{n}}{n!}}$ est définie sur ${\mathbb{R}}$ et sa somme est ${\text{e}^{x}}$ .
La série entière ${\displaystyle\sum n!\,x^{n}}$ n’est définie qu’en ${x=0}$ .

Définition (rayon de convergence d'une série entière)
Soit

{(a_n)_{n\ge0}}

une suite de nombres réels ou complexes.

L’ensemble ${\{\rho\in\mathbb{R}^{+},\;(\left|a_{n}\right|\rho^n)_{n\ge0}\text{\ est bornée}\}}$ est non vide (il contient ${0}$ ).

Sa borne supérieure ${R}$ dans ${\overline{\mathbb{R}}}$ est appelée rayon de convergence de la série entière ${\displaystyle\sum a_n\,x^n}$ .

L’appellation rayon de convergence est justifiée par la proposition suivante :

Proposition (intervalle ouvert de convergence)
Soit

{\displaystyle\sum a_n\,x^n}

une série entière de rayon de convergence

{R}

(où

{R}

est dans

{\mathbb{R}^{+}\cup\{+\infty\}}

${\displaystyle\sum a_n\,x^n}$ converge absolument pour ${\left|x\right|\lt R}$ .
${\displaystyle\sum a_n\,x^n}$ diverge grossièrement pour ${\left|x\right|>R}$ .

On dit que ${]-R,R\,[}$ est l’intervalle ouvert de convergence de la série entière ${\displaystyle\sum a_n\,x^n}$ .

Si ${R=0}$ , l’intervalle ouvert de convergence est vide (ça ne présente que peu d’intérêt).
Si ${R>0}$ , la somme ${S(x)=\displaystyle\sum a_n\,x^n}$ est donc définie sur ${]-R,R\,[}$ .

Il est possible que la série diverge ou converge en ${x=-R}$ ou/et en ${x=R}$ (c’est-à-dire sur le bord de l’intervalle ouvert), mais on ne peut rien dire de général (et ça n’est pas important).
On ne change pas le rayon de convergence de ${\displaystyle\sum a_nx^n}$ en modifiant un nombre fini de coefficients ${a_n}$ (en revanche, on modifie très certainement la somme de cette série entière).

On considère parfois (souvent) des séries entières ${\displaystyle\sum a_{n}x^{n}}$ dont le terme général n’est défini qu’à partir d’un certain rang ${n_{0}}$ . On notera alors ${\displaystyle\sum_{n\ge n_{0}}a_{n}x^{n}}$ .
Les séries entières ${\displaystyle\sum a_nx^n}$ , ${\displaystyle\sum(-1)^na_nx^n}$ ou ${\displaystyle\sum\left|a_{n}\right|x^n}$ ont le même rayon de convergence (ça vient de la définition du rayon de convergence où n’intervient en fait que le module des ${a_{n}}$ ).

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