Séries à termes positifs

Plan du chapitre "Séries numériques"

Convergence par utilisation de comparaisons

Proposition (convergence par majoration des sommes partielles)
Soit

{\displaystyle\sum u_n}

une série à termes réels positifs ou nuls.
La suite

{(S_{N})}

des sommes partielles de la série

{\displaystyle\sum u_n}

est croissante.
Dans ces conditions,

{\displaystyle\sum u_n}

converge si et seulement si la suite

{(S_N)}

est majorée.

Si l’hypothèse ${u_n\ge0}$ n’est vraie qu’à partir d’un certain rang ${n_0}$ , le résultat reste valable.

Sachant que ${\sum u_n}$ et ${\sum(-u_n)}$ sont de même nature, l’énoncé se généralise (avec des modifications évidentes) aux séries réelles dont le terme général est de signe constant à partir d’un certain rang.

Proposition (convergence par domination)
Soit

{\displaystyle\sum u_n}

{\displaystyle\sum v_n}

deux séries.
on suppose

{0\le u_{n}\le v_{n}}

pour tout

{n\ge n_{0}}

si on sait que ${\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n}$ diverge, alors ${\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n}$ diverge.
si ${\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n}$ converge, la série ${\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n}$ converge, et : ${\forall N\ge n_{0},\;\displaystyle\sum_{n=N}^\infty u_n\le\displaystyle\sum_{n=N}^\infty v_n}$

Proposition (convergence par équivalence)
Soit

{\displaystyle\sum u_n}

{\displaystyle\sum v_n}

deux séries à termes réels positifs (au moins à partir d’un certain rang).
Si

{u_n\sim v_n}

{\displaystyle\sum u_n}

{\displaystyle\sum v_n}

sont de même nature.

La proposition précédente vaut aussi pour des séries à termes négatifs à partir d’un certain rang.

L’hypothèse selon laquelle les ${u_{n}}$ et ${v_{n}}$ gardent un signe constant est essentielle.

En effet, si on pose par exemple ${u_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}\;\text{et}\;v_n=\ln(1+u_n)}$ on a ${u_{n}\sim v_{n}}$ , mais ${\displaystyle\sum u_n}$ converge et ${\displaystyle\sum v_n}$ diverge.

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