Produit scalaire, norme et distance

Plan du chapitre "Espaces préhilbertiens réels"

Dans tout le chapitre, {E} est un espace vectoriel sur {\mathbb{R}}.

Produit scalaire sur un {\mathbb{R}} espace vectoriel

Définition (produit scalaire sur un ℝ-espace vectoriel)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{R}}.
Soit {f} une application de {E\times E} dans {\mathbb{R}}.
On dit que {f:~E\times E\to\mathbb{R}} est un produit scalaire sur {E} si elle vérifie les propriétés suivantes :

  • l’application {f} est bilinéaire.
  • pour tous vecteurs {u,v} de {E}, on a : {f(u,v)={f(v,u)}} (on dit que {f} est symétrique).
  • pour tou vecteur {u} de {E}, on a : {f(u,u)\ge0} (on dit que {f} est positive).
  • pour tout vecteur {u} de {E}, on a : {f(u,u)=0\Leftrightarrow u=0} (on dit que {f} est définie).

Rappelons que la bilinéarité s’écrit : {\begin{array}{l}\forall\,(u,u',v,v')\in E^4,\;\forall\, (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\\[6pts]\begin{cases}f(\alpha u+\beta u',v)=\alpha f(u,v)+\beta f(u',v)\\[6pts]f(u,\alpha v+\beta v')=\alpha f(u,v)+\beta f(u,v')\end{cases}\end{array}}Si le caractère symétrique de {f} est établi, la « linéarité à droite » équivaut à la « linéarité à gauche ».
Un produit scalaire sur {E} est donc une « forme bilinéaire symétrique définie positive ».

Définition (espace préhilbertien réel, espace euclidien)
Un {\mathbb{R}} espace vectoriel {E} muni d’un produit scalaire est dit préhilbertien réel.
Un espace euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie.

Notations

Plutôt que de noter {f(u,v)}, on note souvent {\lt u,v>}, ou {u\cdot v}, ou {\left(u \mid v\right)}.

Avec la notation {\left({\cdot}\mid{\cdot}\right)}, que nous utiliserons, la définition d’un produit scalaire devient : {\begin{array}{l}\forall\, (u,u',v,v')\in E^4,\ \forall\, (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\\\\\begin{cases}\left({\alpha u+\beta u'}\mid{v}\right)=\alpha\left(u \mid v\right)+\beta\left({u'}\mid{v}\right)\\[6pts]\left({u}\mid{\alpha v+\beta v'}\right)=\alpha\left(u \mid v\right)+\beta\left({u}\mid{v'}\right)\\[6pts]\left(u \mid v\right)=\left({u}\mid{v}\right)\\[6pts]\left({u}\mid{u}\right)\ge0\ \;\text{et}\;\ \left({u}\mid{u}\right)=0\Leftrightarrow u=0\end{cases}\end{array}}

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).

Page suivante : orthogonalité