Anneau des polynômes

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Suites à support fini de ${\mathbb{K}}$

Dans tout le chapitre, ${\mathbb{K}}$ désigne le corps ${\mathbb{R}}$ ou le corps ${\mathbb{C}}$ .

Définition (suites à support fini dans )
Une suite

{(a_n)_{n\ge0}}

{\mathbb{K}}

est dite à support fini s’il existe

{n_{0}\in\mathbb{N}}

tel que :

{\forall\, n\ge n_{0},\;a_{n}=0}

.
Cela équivaut à dire que l’ensemble

{\{n\in\mathbb{N},\;a_{n}\ne 0\}}

est fini (éventuellement vide).
On note

{\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}

l’ensemble des suites de

{\mathbb{K}}

qui sont à support fini.

Soit la suite ${(a_n)_{n\ge0}}$ définie par ${a_{0}=1}$ , ${a_{1}=-3}$ , ${a_{2}=0}$ , ${a_{3}=5}$ , ${a_{4}=-1}$ et ${a_{n}=0}$ pour tout ${n\ge 5}$ .
Cette suite est à support fini, et on pourrait la noter, sans ambiguïté : ${a=(1,-3,0,5,-1,0...)}$
Un cas très particulier est celui de la suite identiquement nulle ${(0...)}$ .

Définition (somme de suites à support fini, et produit par un scalaire)
Soit

{a=(a_n)_{n\ge0}}

{b=(b_n)_{n\ge0}}

deux suites à support fini de

{\mathbb{K}}

. Soit

{\lambda}

un élément de

{\mathbb{K}}

.
On note

{a+b}

la suite de terme général

{a_{n}+b_{n}}

, et on note

{\lambda a}

la suite de terme général

{\lambda a_{n}}

.
Avec ces notations, les suites

{a+b}

{\lambda a}

sont encore à support fini.

Structure de groupe commutatif

L’ensemble ${(\mathbb{K}^{(\mathbb{N})},+)}$ a une structure de groupe commutatif.
Plus précisément : l’élément neutre est la suite nulle, et l’opposée de ${(a_n)_{n\ge0}}$ est ${(-a_n)_{n\ge0}}$ .

Combinaisons linéaires

L’opération qui à un scalaire ${\lambda}$ et à une suite ${(a_n)_{n\ge0}}$ associe la suite ${\lambda a}$ est appelée « loi externe ».

Avec cette opération et la loi ${+}$ , on peut définir des combinaisons linéaires dans ${\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}$ .

Par exemple, soient ${a=(a_n)_{n\ge0}}$ , ${b=(b_n)_{n\ge0}}$ et ${c=(c_n)_{n\ge0}}$ sont trois éléments de ${\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}$ , et soient ${\alpha,\beta,\gamma}$ trois scalaires (des éléments de ${\mathbb{K}}$ )

Alors ${d=\alpha a+\beta b+\gamma c}$ désigne la suite (à support fini) de terme général ${d_n=\alpha a_n+\beta b_n+\gamma c_n}$ .
On dit que ${d}$ est une combinaison linéaire de ${a,b,c}$ , avec les coefficients ${\alpha,\beta,\gamma}$ .

Base canonique

Pour tout ${m\in\mathbb{N}}$ , soit ${e_m=(a_n)_{n\ge0}}$ l’élément de ${\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}$ défini par ${\begin{cases}a_m=1\\a_n=0\text{\ si\ }n\ne m\end{cases}}$

Ainsi ${e_0=(1,0...)}$ , ${e_1=(0,1,0,...)}$ , ${e_2=(0,0,1,0...)}$ .

On remarque que ${a=(3,0,1,-2,0,0,4,0...)}$ s’écrit ${a=3e_0+e_2-2e_3+4e_6}$ .

Plus généralement, si ${a=(a_0,a_1,\ldots,a_m,0...)}$ , alors : ${a=a_0e_0+a_1e_1+\cdots+a_me_m=\displaystyle\sum_{n=0}^ma_ne_n}$ On notera aussi ${a=\displaystyle\sum_{n\ge0}a_ne_n}$ ou ${a=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_ne_n}$ , en se souvenant que cette somme est finie.

L’écriture de ${a}$ comme combinaison linéaire des ${e_n}$ est unique, à l’ordre près. On exprime cette propriété en disant que les suites ${e_{n}}$ forment une base de ${\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}$ (dite « base canonique »).

Définition (un produit sur les suites à support fini)
Soit

{a=(a_n)_{n\ge0}}

{b=(b_n)_{n\ge0}}

deux suites à support fini de

{\mathbb{K}}

.
On définit la suite

{c=ab}

(dite suite produit de

{a}

{b}

) de la manière suivante :

${\begin{cases}c_{0}=a_{0}b_{0}\\ c_{1}=a_{1}b_{0}\!+\!a_{0}b_{1}\end{cases}\;\begin{cases}c_{2}=a_{2}b_{0}\!+\!a_{1}b_{1}\!+\!a_{0}b_{2}\\c_{3}=a_{3}b_{0}\!+\!a_{2}b_{1}\!+\!a_{1}b_{2}\!+\!a_{0}b_{3}\end{cases}}$

et plus généralement, pour tout ${n\in\mathbb{N}}$ : ${c_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\displaystyle\sum_{j+k=n}a_{j}b_{k}}$ .
Avec ces notations, la suite ${c=ab}$ est encore à support fini.

Remarques

La loi produit sur ${\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}$ est commutative, associative, distributive par rapport à l’addition.
La suite ${e_0=(1,0...)}$ est élément neutre pour ce produit.
Pour tous indices ${j}$ et ${k}$ , on remarque que ${e_j e_k=e_{j+k}}$ .
On en déduit que pour tout ${n}$ de ${\mathbb{N}}$ , on a ${e_1^n=e_n}$ (en posant ${e_1^0=e_0}$ ).

Proposition
Muni des deux lois

{+}

{\times}

, l’ensemble

{\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}

est un anneau commutatif.
Les éléments de cet anneau sont appelés polynômes à coefficients dans ${\mathbb{K}}$ .

L’anneau des polynômes ${\mathbb{K}[X]}$

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres
ou consulter le plan du site

Page suivante : divisibilité dans K[X]

Suites à support fini de {\mathbb{K}}