Anneau des polynômes

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Suites à support fini de {\mathbb{K}}

Dans tout le chapitre, {\mathbb{K}} désigne le corps {\mathbb{R}} ou le corps {\mathbb{C}}.

Définition (suites à support fini dans )
Une suite {(a_n)_{n\ge0}} de {\mathbb{K}} est dite à support fini s’il existe {n_{0}\in\mathbb{N}} tel que : {\forall\, n\ge n_{0},\;a_{n}=0}.
Cela équivaut à dire que l’ensemble {\{n\in\mathbb{N},\;a_{n}\ne 0\}} est fini (éventuellement vide).
On note {\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}} l’ensemble des suites de {\mathbb{K}} qui sont à support fini.

Soit la suite {(a_n)_{n\ge0}} définie par {a_{0}=1}, {a_{1}=-3}, {a_{2}=0}, {a_{3}=5}, {a_{4}=-1} et {a_{n}=0} pour tout {n\ge 5}.
Cette suite est à support fini, et on pourrait la noter, sans ambiguïté : {a=(1,-3,0,5,-1,0…)}
Un cas très particulier est celui de la suite identiquement nulle {(0…)}.

Définition (somme de suites à support fini, et produit par un scalaire)
Soit {a=(a_n)_{n\ge0}} et {b=(b_n)_{n\ge0}} deux suites à support fini de {\mathbb{K}}. Soit {\lambda} un élément de {\mathbb{K}}.
On note {a+b} la suite de terme général {a_{n}+b_{n}}, et on note {\lambda a} la suite de terme général {\lambda a_{n}}.
Avec ces notations, les suites {a+b} et {\lambda a} sont encore à support fini.

Structure de groupe commutatif

L’ensemble {(\mathbb{K}^{(\mathbb{N})},+)} a une structure de groupe commutatif.
Plus précisément : l’élément neutre est la suite nulle, et l’opposée de {(a_n)_{n\ge0}} est {(-a_n)_{n\ge0}}.

Combinaisons linéaires

L’opération qui à un scalaire {\lambda} et à une suite {(a_n)_{n\ge0}} associe la suite {\lambda a} est appelée “loi externe”.

Avec cette opération et la loi {+}, on peut définir des combinaisons linéaires dans {\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}.

Par exemple, soient {a=(a_n)_{n\ge0}}, {b=(b_n)_{n\ge0}} et {c=(c_n)_{n\ge0}} sont trois éléments de {\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}, et soient {\alpha,\beta,\gamma} trois scalaires (des éléments de {\mathbb{K}})

Alors {d=\alpha a+\beta b+\gamma c} désigne la suite (à support fini) de terme général {d_n=\alpha a_n+\beta b_n+\gamma c_n}.
On dit que {d} est une combinaison linéaire de {a,b,c}, avec les coefficients {\alpha,\beta,\gamma}.

Base canonique

Pour tout {m\in\mathbb{N}}, soit {e_m=(a_n)_{n\ge0}} l’élément de {\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}} défini par {\begin{cases}a_m=1\\a_n=0\text{\ si\ }n\ne m\end{cases}}

Ainsi {e_0=(1,0…)}, {e_1=(0,1,0,…)}, {e_2=(0,0,1,0…)}.

On remarque que {a=(3,0,1,-2,0,0,4,0…)} s’écrit {a=3e_0+e_2-2e_3+4e_6}.

Plus généralement, si {a=(a_0,a_1,\ldots,a_m,0…)}, alors : {a=a_0e_0+a_1e_1+\cdots+a_me_m=\displaystyle\sum_{n=0}^ma_ne_n}On notera aussi {a=\displaystyle\sum_{n\ge0}a_ne_n}ou {a=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_ne_n}, en se souvenant que cette somme est finie.

L’écriture de {a} comme combinaison linéaire des {e_n} est unique, à l’ordre près. On exprime cette propriété en disant que les suites {e_{n}} forment une base de {\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}} (dite “base canonique”).

Définition (un produit sur les suites à support fini)
Soit {a=(a_n)_{n\ge0}} et {b=(b_n)_{n\ge0}} deux suites à support fini de {\mathbb{K}}.
On définit la suite {c=ab} (dite suite produit de {a} et {b}) de la manière suivante :

{\begin{cases}c_{0}=a_{0}b_{0}\\ c_{1}=a_{1}b_{0}\!+\!a_{0}b_{1}\end{cases}\;\begin{cases}c_{2}=a_{2}b_{0}\!+\!a_{1}b_{1}\!+\!a_{0}b_{2}\\c_{3}=a_{3}b_{0}\!+\!a_{2}b_{1}\!+\!a_{1}b_{2}\!+\!a_{0}b_{3}\end{cases}}

et plus généralement, pour tout {n\in\mathbb{N}} : {c_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\displaystyle\sum_{j+k=n}a_{j}b_{k}}.
Avec ces notations, la suite {c=ab} est encore à support fini.

Remarques

  • La loi produit sur {\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}} est commutative, associative, distributive par rapport à l’addition.
    La suite {e_0=(1,0…)} est élément neutre pour ce produit.
  • Pour tous indices {j} et {k}, on remarque que {e_j e_k=e_{j+k}}.
    On en déduit que pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a {e_1^n=e_n} (en posant {e_1^0=e_0}).
Proposition
Muni des deux lois {+} et {\times}, l’ensemble {\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}} est un anneau commutatif.
Les éléments de cet anneau sont appelés polynômes à coefficients dans {\mathbb{K}}.

L’anneau des polynômes {\mathbb{K}[X]}

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