Dérivation des polynômes

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Dérivée formelle d’un polynôme

On rappelle que {\mathbb{K}} désigne indifféremment {\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}.

Définition (polynôme dérivé formel)
Soit {A=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_{k}X^k} dans {\mathbb{K}[X]}.
Le polynôme {A’=\displaystyle\sum_{k\ge0}(k+1)a_{k+1}X^k} est appelé polynôme dérivé de {A}.

Il s’agit ici d’une dérivée “formelle”, c’est-à-dire purement symbolique.
Mais si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, alors la fonction polynomiale associée au polynôme {A’} est bien la dérivée (au sens habituel donné à ce nom) de la fonction polynomiale associée à {A}.
En revanche si {\mathbb{K}=\mathbb{C}}, ça n’a aucun sens de parler de fonction dérivée.

Remarques et propriétés

  • Si {A=aX^3+bX^2+cX+d} alors {A’=3aX^2+2bX+c}.
  • Si {A=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_kX^k}, alors {A’=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)a_{k+1}X^{k}}, ou encore {A’=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\,a_kX^{k-1}}.
  • Si {\deg(A)\ge1} on a {\deg(A’)=\deg(A)-1}.
    Pour cette raison, {A’} est le polynôme nul si et seulement si {A} est un polynôme constant.
    Plus généralement : {\begin{array}{l}\forall\, (A,B)\in\mathbb{K}[X]^2,\\[9pts]A’=B’\Leftrightarrow\exists\,\lambda\in\mathbb{K},\;A=B+\lambda\end{array}}
Définition (polynômes dérivés successifs)
Soit {A} dans {\mathbb{K}[X]}.
On définit les polynômes dérivés successifs de {A} par {\begin{cases}A^{(0)}=A\\\forall\, m\in\mathbb{N}, A^{(m+1)}=(A^{(m)})’\end{cases}}

On dit que {A^{(m)}} est le polynôme dérivé {m}-ième de {A}.

On note bien sûr {A’} et {A”} plutôt que {A^{(1)}} et {A^{(2)}}.

Proposition (polynômes dérivés d'une combinaison linéaire)
Soit {A,B} dans {\mathbb{K}[X]}, et {\alpha,\beta} dans {\mathbb{K}}.
Pour tout {m} de {\mathbb{N}}, on a {(\alpha A+\beta B)^{(m)}=\alpha A^{(m)}+\beta B^{(m)}}.

Pour voir la suite de cette page, vous devez :

Page précédente : fonctions polynomiales, racines
Page suivante : arithmétique dans K[X]