Polynômes irréductibles et factorisations

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Polynômes irréductibles dans {\mathbb{K}[X]}

On rappelle qu’un polynôme {P} quelconque de {\mathbb{K}[X]} est divisible par tous les polynômes constants non nuls, et que si {P} est non nul il est divisible par tous ses associés, c’est-à-dire les {\lambda P} avec {\lambda} dans {\mathbb{K}^{*}}.

Définition (polynômes irréductibles)
Soit {P} un polynôme non constant de {\mathbb{K}[X]}.
On dit que {P} est irréductible dans {\mathbb{K}[X]} si ses seuls diviseurs dans {\mathbb{K}[X]} sont :

  • les polynômes constants non nuls.
  • les polynômes associés à {P}, c’est-à-dire les {\lambda P}, avec {\lambda} dans {\mathbb{K}^*}.

A contrario, un polynôme non constant {P} n’est pas irréductible (donc est “réductible”) dans {\mathbb{K}[X]} s’il possède une “factorisation stricte”, c’est-à-dire s’il existe {A} et {B} dans {\mathbb{K}[X]} tels que {P=AB} avec {\deg(A)\lt \deg(P)} et {\deg(B)\lt \deg(P)}.

La description des polynômes irréductibles est facile dans {\mathbb{C}[X]}, assez facile dans {\mathbb{R}[X]}, mais difficile dans {\mathbb{Q}[X]} (polynômes à coefficients rationnels). On se contente ici d’un aperçu très sommaire du cas général {\mathbb{K}[X]}, sachant que le programme de la classe de MPSI se limite à {\mathbb{R}[X]} et {\mathbb{C}[X]}.

On a vu à quel point l’arithmétique des polynômes est proche de celle des entiers. Cette proximité s’explique par l’existence d’une division euclidienne, à la fois dans {\mathbb{Z}} et dans {\mathbb{K}[X]} (et c’est cette division qui conduit, via l’algorithme d’Euclide, à la notion de Pgcd).

La notion de polynôme irréductible est dans la continuité de cette proximité, les polynômes irréductibles jouant le rôle qu’ont joué les nombres premiers dans l’arithmétique des entiers.

Remarques et propriétés

  • Tout polynôme de degré {1} est irréductible.
    Si {\deg(P)\ge2} et si {P} admet une racine dans {\mathbb{K}}, alors {P} n’est pas irréductible dans {\mathbb{K}[X]}.
    Si {\deg(P)\in\{2,3\}} et si {P} n’a pas de racine dans {\mathbb{K}} alors il est irréductible dans {\mathbb{K}[X]}.
    Cette propriété cesse d’être vraie si {\deg(P)\ge4} (exemple : {P=(X^2+1)^2} dans {\mathbb{R}[X]}).
  • La notion de polynôme irréductible dépend du corps {\mathbb{K}}.
    Ainsi {A=X^2-2} est irréductible dans {\mathbb{Q}[X]}, pas dans {\mathbb{R}[X]} car {A=(X-\sqrt2)(X+\sqrt2)}.
    De même {A=X^2+1} est irréductible dans {\mathbb{R}[X]}, pas dans {\mathbb{C}[X]} car {A=(X-i)(X+i)}.
  • Si un polynôme irréductible {P} ne divise pas un polynôme {A}, alors il est premier avec {A}.
    En particulier, {P} est premier avec les polynômes de degré strictement inférieur à {\deg(P)}.
  • Soit {P} un polynôme irréductible, et soit {A_1,A_2,\ldots,A_n} une famille de polynômes.
    Alors {P} divise le produit {A_1A_2\ldots A_n} si et seulement si {P} divise l’un au moins des {A_k}.
  • Si un polynôme {P} est irréductible, ses associés le sont aussi.
    Si deux polynômes irréductibles ne sont pas associés, ils sont premiers entre eux.
    Deux polynômes irréductibles unitaires distincts sont premiers entre eux.

Proposition (existence d'un diviseur irréductible)
Tout polynôme non constant est divisible par au moins un polynôme irréductible.

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