Fonctions polynomiales, racines

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Fonction polynomiale associée

Définition (fonction polynomiale associée à un polynôme)
Soit {A=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_{k}X^k} un élément de {\mathbb{K}[X]}.
Pour tout {x} de {\mathbb{K}}, on pose {A(x)=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_kx^k}.
On dit que {A(x)} est la valeur du polynôme {A} en {x}.
On dit que la fonction {x\mapsto A(x)} est la fonction polynomiale associée au polynôme {A}.
On note souvent {\widetilde A} cette fonction de {\mathbb{K}} dans {\mathbb{K}}, pour la distinguer du polynôme {A}.

Différence entre polynôme et fonction polynomiale

Un polynôme {A} de {\mathbb{K}[X]} tel que nous l’avons défini, est un objet “formel”.
La fonction polynomiale {\widetilde{A}} qui lui est associée est une fonction de {\mathbb{K}} dans {\mathbb{K}}.

On ne doit donc pas confondre {A} et {\widetilde{A}}, même si l’égalité {A(\lambda)=\widetilde{A}(\lambda)} recèle une ambigüité.

Quand on envisage {A(\lambda)}, il ne faut pas dire qu’on donne à {X} la valeur {\lambda} (ou qu’on pose {X=\lambda}) car ça n’a pas de sens : {X} est un polynôme de degré {1} et il ne saurait être égal à la constante {\lambda}.

En fait, il s’agit d’une simple substitution : on se contente de remplacer {X} par {\lambda}.

Pour éviter toute ambiguïté, il est d’usage d’utiliser le nom {X} quand on parle de polynômes et la variable {x} quand on parle de fonctions polynomiales.

Remarques et propriétés

  • Si {A} est un polynôme, alors {A(0)} est le coefficient constant de {A}. De même, {A(1)} représente la somme des coefficients de {A}.
  • La fonction polynomiale associée au polynôme constant {\lambda} est la fonction constante {x\mapsto \lambda}.
    La fonction polynomiale associée au polynôme {X} est la fonction identité {x\mapsto x} de {\mathbb{K}} dans {\mathbb{K}}.
  • On rappelle qu’on note {\widetilde A} la fonction polynomiale associée à un polynôme {A}. Avec ces notations, et pour tous {A,B} dans {\mathbb{K}[X]}, on a :{\widetilde{A+B}=\widetilde{A}+\widetilde{B}\;\text{et}\;\widetilde{AB}=\widetilde{A}\;\widetilde{B}}De même, on vérifie que {\widetilde{A(B)}=\widetilde{A}\circ\widetilde{B}}.

Valeurs en un point de {\mathbb{C}} d’un polynôme réel

Soit {A} dans {\mathbb{R}[X]}. On peut considérer {A} comme un élément particulier de {\mathbb{C}[X]}.
Alors pour tout complexe {z}, on a : {A(\overline{z})=\overline{A(z)}}.

Plus généralement, soit {A=\displaystyle\sum_{n\ge0}a_{n}X^{n}} dans {\mathbb{C}[X]}. Posons {\overline{A}=\displaystyle\sum_{n\ge0}\overline{a_{n}}\,X^{n}}.

Pour tous {A,B} dans {\mathbb{C}[X]} et {\alpha,\beta} dans {\mathbb{C}}, on a alors : {\overline{\alpha A+\beta B}=\overline{\alpha}\,\overline{A}+\overline{\beta}\,\overline{B}\;\text{et}\;\overline{AB}=\overline{A}\overline{B}}

Schéma de Horner

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