Fractions rationnelles

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Comme d’habitude, on pose ${\mathbb{K}=\mathbb{R}}$ ou ${\mathbb{C}}$ .

Note : dans le programme de la classe de MPSI, cette construction n’est pas exigible.

Définition (une relation d'équivalence)
On définit une relation sur

{\mathbb{K}[X]\times(\mathbb{K}[X]\setminus\{0\})}

de la façon suivante : pour tous couples de polynômes

{(A,B)}

{(C,D)}

, avec

{B\ne0}

{D\ne0}

{(A,B)\mathcal{R}(C,D)\Leftrightarrow AD=BC}

Proposition (définition des fractions rationnelles)
Avec les définitions précédentes,

{\mathcal{R}}

est une relation d’équivalence sur

{\mathbb{K}[X]\times(\mathbb{K}[X]\setminus\{0\})}

.
Les classes d’équivalence pour cette relation sont appelées fractions rationnelles à coefficients dans

{\mathbb{K}}

.
On note

{\mathbb{K}(X)}

l’ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans

{\mathbb{K}}

.
La classe d’équivalence

{R}

du couple

{(A,B)}

, avec

{B\ne0}

, est notée

{F=\dfrac{A}{B}}

Ainsi pour ${A,B,C,D}$ dans ${\mathbb{K}[X]}$ , avec ${B\ne0}$ et ${D\ne0}$ , on a : ${\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}\Leftrightarrow AD=BC}$ .

On ne confondra pas les notations ${\mathbb{K}[X]}$ (polynômes) et ${\mathbb{K}(X)}$ (fractions rationnelles).

Quand on dit « soit ${F=\dfrac AB}$ une fraction rationnelle », on sous-entend « ${A,B}$ sont dans ${\mathbb{K}[X]}$ et ${B\ne 0}$ ».

Dans l’écriture ${F=\dfrac{A}{B}}$ , on dit bien sûr que ${A}$ est le numérateur et que ${B}$ est le dénominateur.

Pour tous polynômes ${A,B,Q}$ , avec ${B\ne0}$ et ${Q\ne0}$ , on a ${\dfrac{AQ}{BQ}=\dfrac{A}{B}}$ .

Soit ${F=\dfrac AB}$ un élément de ${\mathbb{K}(X)}$ . Soit ${\Delta=A\wedge B}$ .

Il existe deux polynômes ${C,D}$ tels que ${\begin{cases}A=\Delta C\cr B=\Delta D\end{cases}}$ donc tels que ${F=\dfrac CD}$ , avec ${C\wedge D=1}$ .

Sous cette dernière forme, on dit que ${F}$ est écrite sous forme irréductible, ou simplifiée.

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