Fractions rationnelles

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Comme d’habitude, on pose {\mathbb{K}=\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}.

La construction du corps {\mathbb{K}(X)}

Note : dans le programme de la classe de MPSI, cette construction n’est pas exigible.

Définition (une relation d'équivalence)
On définit une relation sur {\mathbb{K}[X]\times(\mathbb{K}[X]\setminus\{0\})} de la façon suivante : pour tous couples de polynômes {(A,B)} et {(C,D)}, avec {B\ne0} et {D\ne0} : {(A,B)\mathcal{R}(C,D)\Leftrightarrow AD=BC}.
Proposition (définition des fractions rationnelles)
Avec les définitions précédentes, {\mathcal{R}} est une relation d’équivalence sur {\mathbb{K}[X]\times(\mathbb{K}[X]\setminus\{0\})}.
Les classes d’équivalence pour cette relation sont appelées fractions rationnelles à coefficients dans {\mathbb{K}}.
On note {\mathbb{K}(X)} l’ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans {\mathbb{K}}.
La classe d’équivalence {R} du couple {(A,B)}, avec {B\ne0}, est notée {F=\dfrac{A}{B}}.

Ainsi pour {A,B,C,D} dans {\mathbb{K}[X]}, avec {B\ne0} et {D\ne0}, on a : {\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}\Leftrightarrow AD=BC}.

Remarques

On ne confondra pas les notations {\mathbb{K}[X]} (polynômes) et {\mathbb{K}(X)} (fractions rationnelles).

Quand on dit “soit {F=\dfrac AB} une fraction rationnelle”, on sous-entend « {A,B} sont dans {\mathbb{K}[X]} et {B\ne 0} ».

Dans l’écriture {F=\dfrac{A}{B}}, on dit bien sûr que {A} est le numérateur et que {B} est le dénominateur.

Forme irréductible d’une fraction rationnelle

Pour tous polynômes {A,B,Q}, avec {B\ne0} et {Q\ne0}, on a {\dfrac{AQ}{BQ}=\dfrac{A}{B}}.

Soit {F=\dfrac AB} un élément de {\mathbb{K}(X)}. Soit {\Delta=A\wedge B}.

Il existe deux polynômes {C,D} tels que {\begin{cases}A=\Delta C\cr B=\Delta D\end{cases}} donc tels que {F=\dfrac CD}, avec {C\wedge D=1}.

Sous cette dernière forme, on dit que {F} est écrite sous forme irréductible, ou simplifiée.

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