Arithmétique dans K[X]

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Pgcd de deux polynômes {A} et {B}

Rappelons que l’ensemble des diviseurs du polynôme nul est {\mathcal{D}(0)=\mathbb{K}[X]}.
En revanche, si {A\ne 0}, tous les polynômes de {\mathcal{D}(A)} sont de degré inférieur ou égal à {\deg(A)}.

Dans la suite, on considère deux polynômes {A} et {B} de {\mathbb{K}[X]} dont l’un au moins est non nul.
Il en résulte que {\mathcal{D}(A)\cap\mathcal{D}(B)} contient des polynômes non nuls (par exemple le polynôme {1}), mais que ceux-ci sont tous de degré inférieur ou égal à {\min(\deg(A),\deg(B))}.

Définition (pgcd de A et B, avec A≠0 ou B≠0)
Soit {A} et {B} deux polynômes de {\mathbb{K}[X]}, dont l’un au moins est non nul.
L’ensemble des diviseurs communs à {A} et {B} possède des polynômes de degré maximum {d\ge0}.
Tout polynôme {D} de {\mathcal{D}(A)\cap\mathcal{D}(B)} et de degré {d} est appelé un pgcd de {A} et de {B}.

Contrairement au pcgd des entiers, le pgcd de deux polynômes n’est pas défini de façon unique.
Plus précisément, on a le résultat suivant :

Proposition (le pgcd est défini à association près)
Soit {A} et {B} deux polynômes de {\mathbb{K}[X]}, dont l’un au moins est non nul.
Soit {D} un pgcd de {A} et {B}. Soit {\Delta} un polynôme de {\mathbb{K}[X]}.
Alors {\Delta} est un pcgd de {A} et {B} si et seulement si {D} et {\Delta} sont associés.
En particulier, {A} et {B} possèdent un pcgd unitaire et un seul. Celui est noté {A\wedge B}.

Premières propriétés

Rappelons qu’on note {A^{*}} le normalisé d’un polynôme {A} non nul.

Pour tous polynômes {A} et {B}, on a : {A\!\wedge\! B\!=\!B\!\wedge\! A,\ A\!\wedge\! 0\!=\!A^{*}\text{\ (si\ }A\!\ne\!0),\ A\!\wedge\! 1\!=\!1}On a l’égalité {A\wedge B=A^{*}} si et seulement si {A} est un diviseur de {B}.

Le polynôme {A\wedge B}, et ses diviseurs, sont des diviseurs communs à {A} et {B}. On verra que la réciproque est vraie : les diviseurs communs à {A} et {B} sont aussi des diviseurs de {A\wedge B}.

On peut (éventuellement) poser {0\wedge 0=0}.

Algorithme d’Euclide

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