Interpolation de Lagrange

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Dans cette section, comme dans le reste du chapitre, {\mathbb{K}} désigne {\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}.

On considère {n} scalaires distincts {x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1},x_{n}} dans {\mathbb{K}}.
On se donne également {y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}} dans {\mathbb{K}}, mais pas nécessairement distincts deux à deux.

Le problème est : existe-t-il des polynômes {P} (et lesquels?) tels que : {\forall\, k\in\{1,\ldots,n\},\;P(x_{k})=y_{k}}.

En d’autres termes, et si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, peut-on faire “passer” la courbe représentative d’un polynôme {P} par {n} points {A_{k}(x_{k},y_{k})} donnés (dont les abscisses {x_{k}} sont deux à deux distinctes). Et quel est le degré minimum d’un tel polynôme?

Si {f:I\to\mathbb{R}} est une fonction dont on connait les valeurs {y_{k}=f(x_{k})} en les {n} abscisses {x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}} de {I}, la question devient alors : trouver {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(x_{k})=f(x_{k})} pour {1\le k\le n}.

Une fois ce polynôme connu, et de degré minimum si possible, on peut “interpoler” la fonction {f} entre deux abscisses successives {x_{k}} et {x_{k+1}} en posant {f(x)=P(x)} sur {[x_{k},x_{k+1}]}. La question est alors de mesurer la qualité de cette approximation, et de savoir si le choix des abscisses {x_{k}} est important.

Il y a plusieurs approches possibles pour former le “polynôme d’interpolation” {P}, et notamment la méthode de Lagrange. L’idée consiste à former d’abord, pour une famille d’abscisses {x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1},x_{n}} donnée, des polynômes prenant des valeurs simples sur les {x_{k}}.

Définition (polynômes interpolateurs de Lagrange)
On se donne une famille de {n} scalaires {x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1},x_{n}}, distincts deux à deux.
Pour tout entier {k} de {\{1,\ldots,n\}} on définit le polynôme {L_k(X)=\displaystyle\prod\limits_{j=1\atop j\ne k}^{n}\dfrac{X-x_j}{x_k-x_j}}.

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