Interpolation de Lagrange

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Dans cette section, comme dans le reste du chapitre, ${\mathbb{K}}$ désigne ${\mathbb{R}}$ ou ${\mathbb{C}}$ .

On considère ${n}$ scalaires distincts ${x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1},x_{n}}$ dans ${\mathbb{K}}$ .
On se donne également ${y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}}$ dans ${\mathbb{K}}$ , mais pas nécessairement distincts deux à deux.

Le problème est : existe-t-il des polynômes ${P}$ (et lesquels?) tels que : ${\forall\, k\in\{1,\ldots,n\},\;P(x_{k})=y_{k}}$ .

En d’autres termes, et si ${\mathbb{K}=\mathbb{R}}$ , peut-on faire « passer » la courbe représentative d’un polynôme ${P}$ par ${n}$ points ${A_{k}(x_{k},y_{k})}$ donnés (dont les abscisses ${x_{k}}$ sont deux à deux distinctes). Et quel est le degré minimum d’un tel polynôme?

Si ${f:I\to\mathbb{R}}$ est une fonction dont on connait les valeurs ${y_{k}=f(x_{k})}$ en les ${n}$ abscisses ${x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}}$ de ${I}$ , la question devient alors : trouver ${P\in\mathbb{R}[X]}$ tel que ${P(x_{k})=f(x_{k})}$ pour ${1\le k\le n}$ .

Une fois ce polynôme connu, et de degré minimum si possible, on peut « interpoler » la fonction ${f}$ entre deux abscisses successives ${x_{k}}$ et ${x_{k+1}}$ en posant ${f(x)=P(x)}$ sur ${[x_{k},x_{k+1}]}$ . La question est alors de mesurer la qualité de cette approximation, et de savoir si le choix des abscisses ${x_{k}}$ est important.

Il y a plusieurs approches possibles pour former le « polynôme d’interpolation » ${P}$ , et notamment la méthode de Lagrange. L’idée consiste à former d’abord, pour une famille d’abscisses ${x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1},x_{n}}$ donnée, des polynômes prenant des valeurs simples sur les ${x_{k}}$ .

Définition (polynômes interpolateurs de Lagrange)
On se donne une famille de

{n}

scalaires

{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1},x_{n}}

, distincts deux à deux.
Pour tout entier

{k}

{\{1,\ldots,n\}}

on définit le polynôme

{L_k(X)=\displaystyle\prod\limits_{j=1\atop j\ne k}^{n}\dfrac{X-x_j}{x_k-x_j}}

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