Divisibilité dans K[X]

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Divisibilité dans {\mathbb{K}[X]}, diviseurs, multiples

Définition (multiples et diviseurs)
Soit {A} et {B} deux éléments de {\mathbb{K}[X]}. On dit que {B} est un diviseur de {A}, ou encore que {A} est un multiple de {B}, et on note {B\mid A}, s’il existe un polynôme {Q} tel que {A=BQ}.
On note {\mathcal{D}(A)} l’ensemble des diviseurs du polynôme {A}, et {A\,\mathbb{K}[X]} l’ensemble de ses multiples.

Remarques sur les notations {\mathcal{D}(A)} et {A\,\mathbb{K}[X]}

Unicité du “quotient exact” quand il y a divisibilité

Si {A=BQ} avec {B\ne0}, alors {Q} (le quotient exact de {A} par {B}) est défini de façon unique.

Étant donnés deux polynômes {A,B}, avec {B\ne0}, il est exceptionnel que {B} divise {A}.
Si cela se produit, on évitera de noter {\dfrac{A}{B}} leur quotient exact.

Cas particuliers des polynômes {0} et {1}

Pour tout polynôme {B}, on a {0=QB} avec {Q=0}. Le polynôme nul est donc un multiple de tout polynôme {B}.
En d’autres termes, tout polynôme {B} de {\mathbb{K}[X]} divise le polynôme nul.
En revanche le polynôme nul ne divise que lui-même (car {A=Q0\Rightarrow A=0}).

On peut résumer ces remarques en écrivant d’une part {\mathcal{D}(0)=\mathbb{K}[X]} et d’autre part {0\mathbb{K}[X]=\{0\}}.

L’égalité évidente {B=1A} dit que le polynôme constant {1} divise tout polynôme {B}, ou encore que tout polynôme de {\mathbb{K}[X]} est multiple du polynôme {1}. Ainsi {1\mathbb{K}[X]=\mathbb{K}[X]}.

Mais seuls les polynômes constants non nuls divisent le polynôme {1} (car {B\mid 1} signifie que {B} est inversible pour le produit, ou encore : {BQ=1\Rightarrow\deg(B)=0}). Ainsi {\mathcal{D}(1)=\mathbb{K}^*}.

Polynômes associés

En posant {A\mid B}, on définit une relation binaire sur {\mathbb{K}[X]}.
Cette relation est réflexive (on a toujours {A\mid A}) et transitive (si {A\mid B} et {B\mid C} alors {A\mid C}).
Cette relation est loin d’être symétrique (si {A\mid B}, on n’a généralement pas {B\mid A}).
Elle n’est pas antisymétrique car {(A\mid B\;\text{et}\; B\mid A)\not\Rightarrow A=B}.
La définition suivante précise ce dernier point :

Pour voir la suite de cette page, vous devez :

Page précédente : anneau des polynômes
Page suivante : fonctions polynomiales, racines