Divisibilité dans K[X]

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Divisibilité dans ${\mathbb{K}[X]}$ , diviseurs, multiples

Définition (multiples et diviseurs)
Soit

{A}

{B}

deux éléments de

{\mathbb{K}[X]}

. On dit que

{B}

est un diviseur de

{A}

, ou encore que

{A}

est un multiple de

{B}

, et on note

{B\mid A}

, s’il existe un polynôme

{Q}

tel que

{A=BQ}

.
On note

{\mathcal{D}(A)}

l’ensemble des diviseurs du polynôme

{A}

, et

{A\,\mathbb{K}[X]}

l’ensemble de ses multiples.

Remarques sur les notations ${\mathcal{D}(A)}$ et ${A\,\mathbb{K}[X]}$

Unicité du « quotient exact » quand il y a divisibilité

Si ${A=BQ}$ avec ${B\ne0}$ , alors ${Q}$ (le quotient exact de ${A}$ par ${B}$ ) est défini de façon unique.

Étant donnés deux polynômes ${A,B}$ , avec ${B\ne0}$ , il est exceptionnel que ${B}$ divise ${A}$ .
Si cela se produit, on évitera de noter ${\dfrac{A}{B}}$ leur quotient exact.

Cas particuliers des polynômes ${0}$ et ${1}$

Pour tout polynôme ${B}$ , on a ${0=QB}$ avec ${Q=0}$ . Le polynôme nul est donc un multiple de tout polynôme ${B}$ .
En d’autres termes, tout polynôme ${B}$ de ${\mathbb{K}[X]}$ divise le polynôme nul.
En revanche le polynôme nul ne divise que lui-même (car ${A=Q0\Rightarrow A=0}$ ).

On peut résumer ces remarques en écrivant d’une part ${\mathcal{D}(0)=\mathbb{K}[X]}$ et d’autre part ${0\mathbb{K}[X]=\{0\}}$ .

L’égalité évidente ${B=1A}$ dit que le polynôme constant ${1}$ divise tout polynôme ${B}$ , ou encore que tout polynôme de ${\mathbb{K}[X]}$ est multiple du polynôme ${1}$ . Ainsi ${1\mathbb{K}[X]=\mathbb{K}[X]}$ .

Mais seuls les polynômes constants non nuls divisent le polynôme ${1}$ (car ${B\mid 1}$ signifie que ${B}$ est inversible pour le produit, ou encore : ${BQ=1\Rightarrow\deg(B)=0}$ ). Ainsi ${\mathcal{D}(1)=\mathbb{K}^*}$ .

Polynômes associés

En posant ${A\mid B}$ , on définit une relation binaire sur ${\mathbb{K}[X]}$ .
Cette relation est réflexive (on a toujours ${A\mid A}$ ) et transitive (si ${A\mid B}$ et ${B\mid C}$ alors ${A\mid C}$ ).
Cette relation est loin d’être symétrique (si ${A\mid B}$ , on n’a généralement pas ${B\mid A}$ ).
Elle n’est pas antisymétrique car ${(A\mid B\;\text{et}\; B\mid A)\not\Rightarrow A=B}$ .
La définition suivante précise ce dernier point :

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Remarques sur les notations {\mathcal{D}(A)} et {A\,\mathbb{K}[X]}

Polynômes associés

Divisibilité dans ${\mathbb{K}[X]}$ , diviseurs, multiples

Remarques sur les notations ${\mathcal{D}(A)}$ et ${A\,\mathbb{K}[X]}$