Divisibilité et division euclidienne

Plan du chapitre "Arithmétique dans ℤ"

Divisibilité dans {\mathbb{Z}}, diviseurs, multiples

Définition
Soient {a} et {b} deux entiers relatifs. On dit que {b} divise {a}, ou encore {b} est un diviseur de {a}, ou encore {a} est divisible par {b}, ou encore {a} est un multiple de {b}, s’il existe {q} dans {\mathbb{Z}} tel que {a=qb}. On note alors {b\mid a}.
Définition
Pour tout {n} de {\mathbb{Z}}, on note {n\mathbb{Z}=\{qn,\,q\in\mathbb{Z}\}} l’ensemble des multiples de {n}.
On note {\mathcal{D}(n)} l’ensemble des diviseurs de {n} dans {\mathbb{Z}}.
L’ensemble {\mathcal{D}(n)\cap \mathbb{N}} est donc l’ensemble des diviseurs positifs ou nuls de {n}.
Pour tous {a,b} dans {\mathbb{Z}}, on a les équivalences : {\;b\mid a\Leftrightarrow a\in b\mathbb{Z}\Leftrightarrow b\in\mathcal{D}(a)}.

Remarques sur la relation de divisibilité

En écrivant {a\mid b}, on définit une relation binaire sur l’ensemble {\mathbb{Z}}.
Cette relation est réflexive (on a toujours {a\mid a}) et transitive (si {a\mid b} et {b\mid c}, alors {a\mid c}).
Mais ce n’est pas une relation d’ordre car elle n’est pas antisymétrique.
Plus précisément, on a l’équivalence : {(a\mid b \;\text{et}\; b\mid a)\Leftrightarrow a=\pm\, b}.

En revanche, la restriction de la relation de divisibilité à {\mathbb{N}} est une relation d’ordre (partiel).

On dit de deux entiers relatifs qui se divisent mutuellement (c’est-à-dire : qui sont égaux ou opposés, ou encore : qui ont la même valeur absolue) qu’ils sont associés.
On retiendra que deux entiers associés ont exactement les mêmes propriétés par rapport à la relation de divisibilité (et c’est la raison pour laquelle on choisira souvent celui des deux qui est positif).

Quelques cas particuliers

  • La notation {2\mathbb{Z}} désigne l’ensemble des entiers pairs, et on a {\mathcal{D}(2)=\{-2,-1,1,2\}}.

    De même {\begin{cases}\begin{array}{rl}12\mathbb{Z}&=\{12\,k,\;k\in\mathbb{Z}\}\\[6pts]&=\{\cdots,-36,-24,-12,0,12,24,36,\cdots\}\end{array}\\[9pts]\mathcal{D}(12)\!=\!\{-12,\!-6,\!-4,\!-3,\!-2,\!-1,1,2,3,4,6,12\}\end{cases}}

    Ou encore {\begin{cases}\begin{array}{rl}13\mathbb{Z}&=\{13\,k,\;k\in\mathbb{Z}\}\\&=\{\cdots,-39,-26,-13,0,13,26,39,\cdots\}\end{array}\\\mathcal{D}(13)=\{-13,-1,1,13\}\end{cases}}

  • L’entier {0} est multiple de tout entier {b} (car {0=0b}), ou encore : tout entier {b} divise {0}.

    En revanche, {0} ne divise que lui-même car {a=q0\Rightarrow a=0} (ou encore : le seul multiple de {0} est {0}).
    On peut donc écrire : {\mathcal{D}(0)=\mathbb{Z}}, et {0\mathbb{Z}=\{0\}}.

  • Les entiers {1} et {-1} divisent tout entier {a} (considérer {a=a1=(-a)(-1)}).
    Ainsi tout entier est multiple de {1} et {-1}. On peut donc écrire : {1\mathbb{Z}=(-1)\mathbb{Z}=\mathbb{Z}}.

    En revanche les seuls diviseurs de {-1} et {1} sont {-1} et {1} eux-mêmes.
    Ainsi {\mathcal{D}(1)=\mathcal{D}(-1)=\{-1,1\}}.

Propriétés diverses sur les ensembles {\mathcal{D}(n)} et {n\mathbb{Z}}.

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).

Page suivante : pgcd et algorithme d’Euclide