Divisibilité et division euclidienne

Plan du chapitre "Arithmétique dans ℤ"

Divisibilité dans {\mathbb{Z}}, diviseurs, multiples

Définition
Soient {a} et {b} deux entiers relatifs. On dit que {b} divise {a}, ou encore {b} est un diviseur de {a}, ou encore {a} est divisible par {b}, ou encore {a} est un multiple de {b}, s’il existe {q} dans {\mathbb{Z}} tel que {a=qb}. On note alors {b\mid a}.
Définition
Pour tout {n} de {\mathbb{Z}}, on note {n\mathbb{Z}=\{qn,\,q\in\mathbb{Z}\}} l’ensemble des multiples de {n}.
On note {\mathcal{D}(n)} l’ensemble des diviseurs de {n} dans {\mathbb{Z}}.
L’ensemble {\mathcal{D}(n)\cap \mathbb{N}} est donc l’ensemble des diviseurs positifs ou nuls de {n}.
Pour tous {a,b} dans {\mathbb{Z}}, on a les équivalences : {\;b\mid a\Leftrightarrow a\in b\mathbb{Z}\Leftrightarrow b\in\mathcal{D}(a)}.

Remarques sur la relation de divisibilité

En écrivant {a\mid b}, on définit une relation binaire sur l’ensemble {\mathbb{Z}}.
Cette relation est réflexive (on a toujours {a\mid a}) et transitive (si {a\mid b} et {b\mid c}, alors {a\mid c}).
Mais ce n’est pas une relation d’ordre car elle n’est pas antisymétrique.
Plus précisément, on a l’équivalence : {(a\mid b \;\text{et}\; b\mid a)\Leftrightarrow a=\pm\, b}.

En revanche, la restriction de la relation de divisibilité à {\mathbb{N}} est une relation d’ordre (partiel).

On dit de deux entiers relatifs qui se divisent mutuellement (c’est-à-dire : qui sont égaux ou opposés, ou encore : qui ont la même valeur absolue) qu’ils sont associés.
On retiendra que deux entiers associés ont exactement les mêmes propriétés par rapport à la relation de divisibilité (et c’est la raison pour laquelle on choisira souvent celui des deux qui est positif).

Quelques cas particuliers

  • La notation {2\mathbb{Z}} désigne l’ensemble des entiers pairs, et on a {\mathcal{D}(2)=\{-2,-1,1,2\}}.

    De même {\begin{cases}\begin{array}{rl}12\mathbb{Z}&=\{12\,k,\;k\in\mathbb{Z}\}\\[6pts]&=\{\cdots,-36,-24,-12,0,12,24,36,\cdots\}\end{array}\\[9pts]\mathcal{D}(12)\!=\!\{-12,\!-6,\!-4,\!-3,\!-2,\!-1,1,2,3,4,6,12\}\end{cases}}

    Ou encore {\begin{cases}\begin{array}{rl}13\mathbb{Z}&=\{13\,k,\;k\in\mathbb{Z}\}\\&=\{\cdots,-39,-26,-13,0,13,26,39,\cdots\}\end{array}\\\mathcal{D}(13)=\{-13,-1,1,13\}\end{cases}}

  • L’entier {0} est multiple de tout entier {b} (car {0=0b}), ou encore : tout entier {b} divise {0}.

    En revanche, {0} ne divise que lui-même car {a=q0\Rightarrow a=0} (ou encore : le seul multiple de {0} est {0}).
    On peut donc écrire : {\mathcal{D}(0)=\mathbb{Z}}, et {0\mathbb{Z}=\{0\}}.

  • Les entiers {1} et {-1} divisent tout entier {a} (considérer {a=a1=(-a)(-1)}).
    Ainsi tout entier est multiple de {1} et {-1}. On peut donc écrire : {1\mathbb{Z}=(-1)\mathbb{Z}=\mathbb{Z}}.

    En revanche les seuls diviseurs de {-1} et {1} sont {-1} et {1} eux-mêmes.
    Ainsi {\mathcal{D}(1)=\mathcal{D}(-1)=\{-1,1\}}.

Propriétés diverses sur les ensembles {\mathcal{D}(n)} et {n\mathbb{Z}}.

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