Entiers premiers entre eux

Plan du chapitre "Arithmétique dans ℤ"

Couples d’entiers premiers entre eux

Définition
Soit {a} et {b} deux entiers relatifs.
On dit que {a} et {b} sont premiers entre eux (ou encore étrangers) si {a\wedge b=1}.

Il revient au même d’écrire {\mathcal{D}(a)\cap\mathcal{D}(b)=\{-1,1\}}.
Cela équivaut aussi à dire que le seul diviseur commun strictement positif de {a} et {b} est {1}.
Dans le cas où {a=b=0}, on rappelle que {a\wedge b=0}, donc le problème ne pose pas.
Seuls les entiers {1} et {-1} sont premiers avec eux-mêmes.

Comme on a toujours {a\wedge b=\left|a\right|\wedge\left|b\right|}, on peut se ramener au cas de deux entiers naturels dont l’un au moins est non nul. Et dire alors que {a} et {b} sont premiers entre eux, c’est dire que le dernier reste non nul dans leur algorithme d’Euclide est égal à {1}.

On ne confondra pas cette notion avec celle de “nombre premier” (voir plus loin).

Proposition (les quotients de deux entiers par leur pgcd sont premiers entre eux)
Soit {a} et {b} deux entiers relatifs (non tous deux nuls), et {d} leur pgcd (donc {d>0}).
Les deux entiers {a’} et {b’} tels que {a=da’} et {b=db’} sont premiers entre eux.

Réciproquement, si {u\wedge v=1}, et pour tout {\delta} dans {\mathbb{N}^{*}}, le pgcd de {\delta u} et {\delta v} est égal à {\delta}.

Avec les notations précédentes, le rationnel {r=\dfrac{a}{b}} admet la forme dite irréductible : {r=\dfrac{a’}{b’}}.
Cette forme irréductible (simplifiée) est unique si on impose un dénominateur strictement positif.

Le théorème de Bézout et ses conséquences

Proposition (théorème de Bézout)
Soit {a} et {b} deux entiers relatifs. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

  • les entiers {a} et {b} sont premiers entre eux.
  • il existe deux entiers relatifs {u} et {v} tels que {au+bv=1}.

Le théorème de Bézout a des conséquences fondamentales en arithmétique des entiers :

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