Nombres premiers

Plan du chapitre "Arithmétique dans ℤ"

Définition et “premières” propriétés

Définition
Soit {p} un entier naturel.
On dit que {p} est premier si {p\ge2} et si ses seuls diviseurs dans {\mathbb{N}} sont {1} et {p}.

On remarque que {1} n’est pas considéré comme un nombre premier.

On peut aussi adopter la définition suivante : un entier naturel {p} est dit premier s’il possède exactement deux diviseurs distincts dans {\mathbb{N}} (ce qui exclut les entiers {0} et {1})

Les dix plus petits nombres premiers sont {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}.

A l’exception de {2}, tous les nombres premiers sont impairs.

Dans la phrase “{a} est premier avec {b}“, il n’y a souvent pas de nombre premier…

Proposition
Soit {p} un nombre premier, et {a} un entier relatif.
Si {p} ne divise pas {a}, alors {p} est premier avec {a}.

En particulier, un entier premier {p} est premier avec tous les entiers de {\{1,\ldots,p-1\}}.
Une autre conséquence est que deux nombres premiers distincts sont premiers entre eux.

Proposition (entier premier divisant un produit)
Soit {p} un nombre premier, et soit {a_1,a_2,\ldots,a_n} une famille d’entiers relatifs.
Si {p} divise le produit {a_1a_2\ldots a_n}, alors {p} divise l’un au moins des entiers {a_k}.
Proposition (existence d'un diviseur premier)
Tout entier naturel {n\ge2} est divisible par au moins un nombre premier.
Proposition
L’ensemble des nombres premiers est infini.

Crible d’Erathosthène

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