- Divisibilité et division euclidienne
- Pgcd et algorithme d'Euclide
- Entiers premiers entre eux
- Nombres premiers
- Congruences
Définition et « premières » propriétés
Définition
Soit {p} un entier naturel.
On dit que {p} est premier si {p\ge2} et si ses seuls diviseurs dans {\mathbb{N}} sont {1} et {p}.
Soit {p} un entier naturel.
On dit que {p} est premier si {p\ge2} et si ses seuls diviseurs dans {\mathbb{N}} sont {1} et {p}.
On remarque que {1} n’est pas considéré comme un nombre premier.
On peut aussi adopter la définition suivante : un entier naturel {p} est dit premier s’il possède exactement deux diviseurs distincts dans {\mathbb{N}} (ce qui exclut les entiers {0} et {1})
Les dix plus petits nombres premiers sont {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}.
A l’exception de {2}, tous les nombres premiers sont impairs.
Dans la phrase « {a} est premier avec {b}« , il n’y a souvent pas de nombre premier…
Proposition
Soit {p} un nombre premier, et {a} un entier relatif.
Si {p} ne divise pas {a}, alors {p} est premier avec {a}.
Soit {p} un nombre premier, et {a} un entier relatif.
Si {p} ne divise pas {a}, alors {p} est premier avec {a}.
En particulier, un entier premier {p} est premier avec tous les entiers de {\{1,\ldots,p-1\}}.
Une autre conséquence est que deux nombres premiers distincts sont premiers entre eux.
Proposition (entier premier divisant un produit)
Soit {p} un nombre premier, et soit {a_1,a_2,\ldots,a_n} une famille d’entiers relatifs.
Si {p} divise le produit {a_1a_2\ldots a_n}, alors {p} divise l’un au moins des entiers {a_k}.
Soit {p} un nombre premier, et soit {a_1,a_2,\ldots,a_n} une famille d’entiers relatifs.
Si {p} divise le produit {a_1a_2\ldots a_n}, alors {p} divise l’un au moins des entiers {a_k}.
Proposition (existence d'un diviseur premier)
Tout entier naturel {n\ge2} est divisible par au moins un nombre premier.
Tout entier naturel {n\ge2} est divisible par au moins un nombre premier.
Proposition
L’ensemble des nombres premiers est infini.
L’ensemble des nombres premiers est infini.
Crible d’Erathosthène
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
- avoir une souscription active sur mathprepa
- et être connecté au site
- revenir à la page d'accueil
- ou tester la page d'extraits libres
- ou consulter le plan du site
Page précédente : entiers premiers entre eux
Page suivante : congruences