Nombre dérivé, fonction dérivée

Plan du chapitre "Dérivabilité"

Dérivabilité en un point, nombre dérivé

Dans tout ce chapitre, on considère des fonctions qui sont définies sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}} non réduit à un point, et qui sont à valeurs dans {\mathbb{R}}.

On se place au voisinage d’un point {A(a,f(a))} de la courbe représentative {(\Gamma)} de {f}.

Soit {M(x,f(x))} un point mobile sur {(\Gamma)}, avec {x\ne a}.

La droite {\Delta_{x}} passant par {A} et {M} a pour coefficient directeur de {\Delta_{x}} est {\delta_{x}=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}.

Quand {x} tend vers {a} (donc sur la figure ci-dessous quand {M} se rapproche de {A} sur {(\Gamma)}) on examine si {\Delta_{x}} (qui pivote autour de {A}) possède une position limite {\Delta} (c’est-à-dire si {\delta_{x}} possède une valeur limite).

Si tel est le cas, on dit que la droite {\Delta} est la tangente en {A} à la représentation graphique {(\Gamma)}.

Définition (nombre dérivé en un point)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique réelle. Soit {a} un élément de {I}.
On dit que {f} est dérivable en {a} si {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}} existe dans {\mathbb{R}}.
Cette limite est appelée nombre dérivé de {f} en {a} et est notée {f'(a)}, ou {D(f)(a)}, ou {\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}(a)}.

Interprétation géométrique

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