Rolle et accroissements finis

Plan du chapitre "Dérivabilité"

Extremum local et point critique

Définition (extremum local)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique définie sur l’intervalle {I}. Soit {a} un élément de {I}.
On dit que {f} présente un maximum local en {a} si : {\exists\,\varepsilon>0,\,\forall\, x\in I,\,(\left|x\!-\!a\right|\!\le\!\varepsilon\Rightarrow f(x)\!\le\! f(a))}On dit que {f} présente un minimum local en {a} si : {\exists\,\varepsilon>0,\,\forall\, x\in I,\,(\left|x\!-\!a\right|\le\varepsilon\Rightarrow f(x)\!\ge\! f(a))}On dit que {f} présente un extremum local en {a} si {f} y présente un maximum ou un minimum local.

Si {f(x)\le f(a)} pour tout {x} de {I}, on dit que {f} présente un maximum absolu en {a}.
On définit de même la notion de minimum absolu et d’extremum absolu.

Définition (point critique d'une fonction dérivable)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction dérivable. Soit {a} un élément de {I}.
On dit que {a} est un point critique de {f} si la dérivée de {f} est nulle en {a}.
Proposition
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction dérivable. Soit {a} un point intérieur à {I}.
Si {f} possède un extrémum local en {a}, alors {f'(a)=0} ({a} est donc un point critique de {f}).

Remarques:

La réciproque est fausse : un point critique ne désignée pas nécessairement un extremum relatif.

Par exemple, avec {f(x)=x^3}, on a {f'(0)=0} mais {f} n’a pas d’extrémum en {0}.

En fait, les extrémums locaux de {f} sur {I} sont à chercher parmi les points où {f} n’est pas dérivable, parmi les extrémités de {I}, et parmi les points critiques intérieurs à {I}. Le graphe ci-dessous illustre quelques cas possibles. On y voit une fonction définie sur le segment {[a,b]}, avec les propriétés suivantes :

  • en {a}, la dérivée n’est pas nulle, mais {f} présente en ce point un maximum absolu.
  • en {\alpha}, il y a un minimum absolu, et en ce point {f} n’est pas dérivable.
  • on voit que {\beta} est un point critique, et que ça correspond à un maximum relatif.
  • on voit que {\delta} est un point critique, mais ça ne correspond à aucun extremum relatif.
  • en {b}, la dérivée n’est pas nulle, mais {f} présente en ce point un minimum relatif.

Théorème de Rolle

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