Dérivée des fonctions à valeurs complexes

Plan du chapitre "Dérivabilité"

Fonctions de classe {\mathscr{C}^{k}} à valeurs dans {\mathbb{C}}

Définition (fonctions de classe Ck à valeurs complexes)
Soit {f:I\to\mathbb{C}} une fonction à valeurs complexes. Soit {u=\text{Re}(f)} et {v=\text{Im}(f)}.
On dit que {f} est {\mathcal{C}^{k}} sur {I} si et seulement si {u} et {v} sont {\mathcal{C}^{k}} sur {I}.
On note alors {f^{(k)}=u^{(k)}+iv^{(k)}} et on dit que {f^{(k)}} est la fonction dérivée {k}-ième de {f}.

Important: s’il est possible de considérer des fonctions dérivables sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}} et à valeurs complexes, on ne parlera jamais de la dérivée d’une fonction qui serait définie sur une partie de {\mathbb{C}}.

On retiendra qu’on ne dérive jamais (autant le répéter) par rapport à une variable complexe.

Cela rejoint une faute à ne jamais commettre: on ne dérive jamais par rapport à une variable entière!

Par exemple, pour étudier la monotonie d’une suite réelle, ça n’a aucun sens de dériver l’expression de {u_{n}} par rapport à l’entier {n}. Voilà c’est dit.

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