Lois de composition

Plan du chapitre "Structures algébriques"

Loi de composition interne

Définition (loi de composition interne sur un ensemble)
Une loi de composition interne sur un ensemble {E} est une application de {E\times E} vers {E}.
Plutôt que de noter par exemple {f(u,v)} (notation
préfixée) l’image d’un couple {(u,v)}, on la note {u\ast v}, {u\,\text{T}\, v}, {u+v},
etc. (notation infixée) et on parle alors des lois {\ast}, {\text{T}}, {+}, etc.
On note souvent {(E,\ast)} pour désigner un ensemble {E} muni d’une loi de composition {\ast}.

On retiendra qu’une loi de composition {\ast} sur {E} est un mécanisme permettant, à partir de deux éléments quelconques {x} et {y} de {E}, de former un élément {z} de {E}, noté {z=x\ast y} et qu’on pourra appeler composé de {x} par {y} pour la loi {\ast}.

Il est important qu’une loi soit partout définie : le résultat {x\ast y} doit donc avoir un sens, quels que soient les éléments {x} et {y} de {E}.

Il arrive souvent qu’on utilise plusieurs fois le mécanisme précédent dans un même calcul. Il faut alors préciser, au moyen de parenthèses, dans quel ordre on a effectué les compositions.

Par exemple l’expression {x\ast y\ast z} est a priori dépourvue de signification, et il faudrait écrire :

  • soit {(x\ast y)\ast z} si on a d’abord calculé {a=x\ast y} avant de calculer {a\ast z}.
  • soit {x\ast (y\ast z)} si on a d’abord calculé {b=y\ast z} avant de calculer {x\ast b}.

Plus compliqué, une expression comme {x\ast y\ast z\ast t} possède les cinq parenthèsages possibles suivants, qui indiquent chacune une chronologie particulière dans les compositions par la loi {\ast} : {\begin{array}{ccc}(x\ast y)\ast (z\ast t)&((x\ast y)\ast z)\ast t)&(x\ast (y\ast z))\ast t\\x\ast((y\ast z)\ast t)&x\ast(y\ast(z\ast t))\end{array}}

On appréciera donc qu’une loi de composition possède la propriété suivante :

Définition (associativité d'une loi de composition)
Soit {\ast} une loi de composition sur un ensemble {E}.
On dit que la loi {\ast} est associative si, pour tous {x,y,z} de {E}, on a : {(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)}.
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