Lois de composition

Plan du chapitre "Structures algébriques"

Loi de composition interne

Définition (loi de composition interne sur un ensemble)
Une loi de composition interne sur un ensemble

{E}

est une application de

{E\times E}

vers

{E}

.
Plutôt que de noter par exemple

{f(u,v)}

(notation
préfixée) l’image d’un couple

{(u,v)}

, on la note

{u\ast v}

{u\,\text{T}\, v}

{u+v}

,
etc. (notation infixée) et on parle alors des lois

{\ast}

{\text{T}}

{+}

, etc.
On note souvent

{(E,\ast)}

pour désigner un ensemble

{E}

muni d’une loi de composition

{\ast}

On retiendra qu’une loi de composition ${\ast}$ sur ${E}$ est un mécanisme permettant, à partir de deux éléments quelconques ${x}$ et ${y}$ de ${E}$ , de former un élément ${z}$ de ${E}$ , noté ${z=x\ast y}$ et qu’on pourra appeler composé de ${x}$ par ${y}$ pour la loi ${\ast}$ .

Il est important qu’une loi soit partout définie : le résultat ${x\ast y}$ doit donc avoir un sens, quels que soient les éléments ${x}$ et ${y}$ de ${E}$ .

Il arrive souvent qu’on utilise plusieurs fois le mécanisme précédent dans un même calcul. Il faut alors préciser, au moyen de parenthèses, dans quel ordre on a effectué les compositions.

Par exemple l’expression ${x\ast y\ast z}$ est a priori dépourvue de signification, et il faudrait écrire :

soit ${(x\ast y)\ast z}$ si on a d’abord calculé ${a=x\ast y}$ avant de calculer ${a\ast z}$ .
soit ${x\ast (y\ast z)}$ si on a d’abord calculé ${b=y\ast z}$ avant de calculer ${x\ast b}$ .

Plus compliqué, une expression comme ${x\ast y\ast z\ast t}$ possède les cinq parenthèsages possibles suivants, qui indiquent chacune une chronologie particulière dans les compositions par la loi ${\ast}$ : ${\begin{array}{ccc}(x\ast y)\ast (z\ast t)&((x\ast y)\ast z)\ast t)&(x\ast (y\ast z))\ast t\\x\ast((y\ast z)\ast t)&x\ast(y\ast(z\ast t))\end{array}}$

On appréciera donc qu’une loi de composition possède la propriété suivante :

Définition (associativité d'une loi de composition)
Soit

{\ast}

une loi de composition sur un ensemble

{E}

.
On dit que la loi

{\ast}

est associative si, pour tous

{x,y,z}

{E}

, on a :

{(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)}

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