Groupes et sous-groupes

Plan du chapitre "Structures algébriques"

Définition
Soit

{G}

un ensemble muni d’une loi de composition

{\ast}

. On dit que

{(G,\ast)}

est un groupe si :

Si de plus la loi ${\ast}$ est commutative, on dit que ${(G,\ast)}$ est un groupe commutatif (ou abélien).

Par définition un groupe est toujours non vide (puisqu’il y a au moins l’élément neutre).
Si la loi est notée ${+}$ , on dit que ${(G,+)}$ est un groupe additif. Le neutre est noté ${0}$ . On rappelle qu’une loi ${+}$ est toujours supposée commutative, et qu’on note ${-x}$ l’opposé (plutôt que l’inverse) de ${x}$ .
En cas de loi produit (notation ${\times}$ ou par juxtaposition), on dit que ${(G,\times)}$ est un groupe multiplicatif.

Les ensembles ${(\mathbb{Z},+)}$ , ${(\mathbb{Q},+)}$ , ${(\mathbb{R},+)}$ et ${(\mathbb{C},+)}$ sont des groupes additifs.
Les ensembles ${(\mathbb{Q}^\ast,\times)}$ , ${(\mathbb{Q}^{+\ast},\times)}$ , ${(\mathbb{R}^\ast,\times)}$ , ${(\mathbb{R}^{+\ast},\times)}$ et ${(\mathbb{C}^\ast,\times)}$ sont des groupes multiplicatifs.
L’ensemble ${\mathcal{U}=\{z\in\mathbb{C},\;\left|z\right|=1\}}$ est un groupe multiplicatif.
Il en est de même de l’ensemble ${\mathcal{U}_{n}=\{z\in\mathbb{C},\;z^{n}=1\}}$ des racines ${n}$ -ièmes de l’unité.

Définition (groupe des permutations d'un ensemble E)
Soit

{E}

un ensemble. On note

{\mathcal{S}_{E}}

l’ensemble des bijections de

{E}

dans

{E}

(on dit les permutations de

{E}

).
Alors

{\mathcal{S}_{E}}

est un groupe pour la loi de composition des applications.

Remarque : dès que l’ensemble ${E}$ possède au moins trois éléments, le groupe ${\mathcal{S}_{E}}$ est non commutatif.

Définition (puissances entières d'un élément)
Soit

{(G,\ast)}

un groupe multiplicatif, d’élément neutre

{e}

, et soit

{x}

un élément de

{G}

.
On définit les puissances entières

{x^n}

(

{n\in\mathbb{Z}}

) de

{x}

de la manière suivante :

on pose ${x^0=e}$ .
pour tout ${n}$ de ${\mathbb{N}^{*}}$ , on pose ${x^{n}=x\ast x^{n-1}}$ , c’est-à-dire ${x^{n}=x\,x\,\cdots x}$ ( ${n}$ fois).
pour tout ${n}$ de ${\mathbb{N}^{*}}$ , on pose ${x^{-n}=(x^n)^{-1}}$ , ou ce qui revient au même : ${x^{-n}=(x^{-1})^n}$ .

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