Structure d’anneau
Définition (structure d'anneau)
Soit {A} un ensemble muni de deux lois de composition, notées {+} et {\times}.
On dit que {(A,+,\times)} est un anneau si :
Soit {A} un ensemble muni de deux lois de composition, notées {+} et {\times}.
On dit que {(A,+,\times)} est un anneau si :
- {(A,+)} est un groupe commutatif (son neutre est en général noté {0}).
- La loi {\times} est associative et distributive par rapport à l’addition.
- Il existe un élément neutre pour le produit {\times} (en général noté {1}).
Si de plus la loi {\times} est commutative, on dit que {(A,+,\times)} est un anneau commutatif.
Exemples
- {(\mathbb{Z},+,\times)}, {(\mathbb{Q},+,\times)}, {(\mathbb{R},+,\times)} et {(\mathbb{C},+,\times)} sont des anneaux commutatifs.
-
Soit {(A,+,\times)} un anneau de neutres {0} (pour la loi {+}) et {1} (pour la loi {\times}).
Il est possible que les deux éléments {0} et {1} de {A} soient identiques!
Mais dans ce cas {A} se réduit à {\{0\}} (anneau nul, sans grand intérêt).
Proposition (groupe des éléments inversibles d'un anneau)
Soit {(A,+,\times)} un anneau.
L’ensemble des éléments de {A} qui sont inversibles pour le produit est un groupe pour la loi {\times}.
Soit {(A,+,\times)} un anneau.
L’ensemble des éléments de {A} qui sont inversibles pour le produit est un groupe pour la loi {\times}.
Exemples
Le groupe des inversibles de l’anneau {(\mathbb{Z},+,\times)} se réduit à la paire {\{-1,1\}}.
Le groupe des inversibles de l’anneau {(\mathbb{R},+,\times)} est l’ensemble de tous les réels non nuls.
Calculs dans un anneau
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