Dérivabilité - Mathprepa

Exercices Mpsi Pcsi
Chapitre “Dérivabilité”

Une équation fonctionnelle

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})}

telles que :

{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}

Cinq exercices sur le thème “fonctions convexes” (2/2)

Six exercices sur le thème “fonctions convexes” (1/2)

Six exercices sur le thème “Égalités ou inégalités de Taylor”

Cinq exercices sur le thème “inégalité ou égalité des accroissements finis”.

Cinq exercices sur le thème “utilisation du théorème de Rolle” (2/2)

Cinq exercices sur le thème “utilisation du théorème de Rolle” (1/2)

Quatre exercices sur le thème “fonction dérivée”

(oral Mines-Ponts 2016)
Montrer que

{\forall\, x}

{y\in \mathbb{R}^{+*}}

{\Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{y}\lt \text{e}^{x}\lt \Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{x+y}}

Soit

{f}

une application dérivable sur

{[a,b]}

.
Montrer que

{f'}

prend toutes les valeurs comprises entre

{f'(a)}

{f'(b).\quad}

(oral Mines-Ponts 2012)
Trouver les

{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}

dérivables en 0 telles que:

{\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2},\;{f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)\quad(\star)}

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