Mathprepa

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(u_{n})} une suite bornée, {(S_{n})} la suite des sommes partielles de {\displaystyle\sum u_{n}}.
Déterminer les rayons de convergence de {u(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}} et {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{S_{n}}{n!}x^{n}}.
Donner une relation entre {u'}, {S'} et {S}.
Déterminer la limite de {S(x)e^{-x}} en {+\infty } quand {u_{n}=(-1)^{n}}.