Matrice d'une application linéaire

Plan du chapitre "Matrices et applications linéaires"

Matrice d’une famille de vecteurs dans une base

Définition (matrice d'une famille de vecteurs dans une base)
Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel, de dim

{n\ge 1}

, muni d’une base

{\varepsilon=(\varepsilon_{i})_{1\le i\le n}}

.
Soit

{v=(v_{j})_{1\le j\le p}}

une famille de

{p}

vecteurs de

{E}

.
Pour tout

{j}

{\{1,\ldots,p\}}

, posons

{v_j=\displaystyle\sum_{i=1}^na_{ij}\,\varepsilon_i}

.
La matrice de

{\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}

de terme général

{a_{ij}}

est appelée matrice de la famille ${v}$ dans la base ${(\varepsilon)}$ .
On pourra noter cette matrice

{A=\text{Mat}_\varepsilon(v)}

La ${j}$ -ième colonne de ${A}$ est donc formée des composantes de ${v_{j}}$ dans la base ${\varepsilon}$ .
Par exemple, si ${n=3}$ , ${j=2}$ , et si ${\begin{cases}v_1=3\varepsilon_1+5\varepsilon_2+\varepsilon_3&\cr v_2=2\varepsilon_1+4\varepsilon_2+7\varepsilon_3&\end{cases}\!\!\!}$ on a ${A=\text{Mat}_\varepsilon(v)=\begin{pmatrix}3&2\cr5&4\cr1&7\end{pmatrix}}$ On notera ${[v]_\varepsilon}$ la matrice-colonne des coordonnées d’un vecteur ${v}$ de ${E}$ dans la base ${(\varepsilon)}$ .

Si ${v=(v_{j})_{1\le j\le p}}$ , on peut donc écrire : ${A=M_{\varepsilon}(v)=\left(\begin{array}{c|c|c|c}&&&\cr {[v_{1}]}_\varepsilon&{[v_{2}]}_\varepsilon&\cdots&{[v_{p}]}_\varepsilon\\&&&\end{array}\right)}$

Matrice d’une application linéaire dans un couple de bases

Définition (matrice d'une application linéaire)
Soit

{E}

{F}

deux espaces vectoriels sur

{\mathbb{K}}

.
On suppose que

{\dim(E)=p\ge1}

, et que

{E}

est muni d’une base

{(e_{j})_{1\le j\le p}}

.
On suppose que

{\dim(F)=n\ge1}

, et que

{F}

est muni d’une base

{(\varepsilon_{i})_{1\le i\le n}}

.
Soit

{f}

une application linéaire de

{E}

dans

{F}

.
On appelle matrice de

{f}

dans les bases

{e}

{\varepsilon}

la matrice

{A}

de la famille

{(f(e_j))_{1\le j\le p} }

dans la base

{\varepsilon}

.
Cette matrice, élément de

{\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}

, est notée

{\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)}

Pour ${1\le j\le p}$ , la ${j}$ -ième colonne de ${\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)}$ est donc formée des composantes de ${f(e_j)}$ dans ${\varepsilon}$ .

Supposons par exemple qu’une base de ${E}$ soit ${e=(e_1,e_2,e_3)}$ , et qu’une base de ${F}$ soit ${\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)}$ .

Si ${f\in\mathcal{L}(E,F)}$ est définie par ${\begin{cases}f(e_1)=\varepsilon_1+2\varepsilon_2\\f(e_2)=7\varepsilon_1+5\varepsilon_2\\f(e_3)=3\varepsilon_1\end{cases}}$ alors ${\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)=\begin{pmatrix}1&7&3\cr2&5&0\end{pmatrix}}$

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