Calcul du rang d’une matrice

Plan du chapitre "Matrices et applications linéaires"

Matrices échelonnées

Soit {A=(a_{ij})} une matrice de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}. On note {\text{L}_1,\ldots,\text{L}_n} les lignes successives de {A}.
Pour chaque ligne {\text{L}_i} de {A}, soit {d(i)} le plus petit indice {j}, s’il existe, tel que {a_{ij}\ne0}.
On dit que {A} est échelonnée supérieurement s’il existe un entier {r} de {\{0,\ldots,n\}} tel que :

  • pour tout indice {i} inférieur ou égal à {r}, la ligne {\text{L}_i} est non nulle.
  • pour tout indice {i} strictement supérieur à {r}, la ligne {\text{L}_i} est nulle.
  • la suite {d(1),d(2),\ldots,d(r)} est strictement croissante.
Proposition (rang d'une matrice échelonnée)
Avec les notations précédentes, la matrice échelonnée {A} est de rang {r}.
Les {r} coefficients non nuls situés aux positions {(i,d(i))} sont appelés les pivots de {A}.

Ainsi {A=\begin{pmatrix}0&1&3&4&0&1&5\cr 0&0&3&5&1&0&0\cr 0&0&0&0&4&1&2\cr 0&0&0&0&0&9&1\cr 0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}} est échelonnée (quatre pivots) donc {\text{rg}(A)=4}.

La matrice nulle de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})} est un cas particulier de matrice échelonnée (avec zéro pivot!).

On définit comme précédemment les matrices “échelonnées inférieurement”. En fait une matrice {A} est échelonnée inférieurement si et seulement si sa transposée est échelonnée supérieurement.

Opérations élémentaires

Définition (opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice)
Soit {A} une matrice de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}. Notons {\text{L}_1,\text{L}_2,\ldots,\text{L}_n} les lignes de {A}.
On appelle opération élémentaire sur les lignes de {A} l’une des opérations suivantes :

  • multiplier une ligne {\text{L}_i} par un scalaire non nul {\alpha} : on note {\text{L}_i\leftarrow\alpha\text{L}_i}.
  • ajouter à {\text{L}_i} un multiple d’une autre ligne {\text{L}_j} : on note {\text{L}_i\leftarrow \text{L}_i+\beta \text{L}_j}.
  • échanger deux lignes {\text{L}_i} et {\text{L}_j} : on note {\text{L}_i\leftrightarrow \text{L}_j}.

On définit de même les opérations élémentaires sur les colonnes de la matrice {A}.

Elles sont notées : {\text{C}_i\leftarrow\alpha \text{C}_i} (avec {\alpha\ne0}), {\text{C}_i\leftarrow \text{C}_i+\beta \text{C}_j} (avec {j\ne i}), et {\text{C}_i\leftrightarrow \text{C}_j}.

{\vartriangleright} Nécessiter d’utiliser un pivot non nul

Dans les opérations {\text{L}_i\leftarrow\alpha\text{L}_i} et {\text{C}_i\leftarrow\alpha \text{C}_i}, on dit que {\alpha} joue le rôle de “pivot”.
Dans ces deux opérations il est absolument indispensable que {\alpha} soit non nul.

On fera notamment attention au cas où {\alpha} dépend d’un paramètre : pour les valeurs de ce paramètre qui annuleraient {\alpha}, l’opération se traduirait par {\text{L}_i\leftarrow0} ou {\text{C}_i\leftarrow0} et serait “illégale.”

On note {\text{L}_i\leftarrow\alpha\text{L}_i+\beta\text{L}_j} la composée de {\text{L}_i\leftarrow\alpha\text{L}_i} (où {\alpha\ne0}) puis de {\text{L}_i\leftarrow\text{L}_i+\beta\text{L}_j}.

{\vartriangleright} Interprétation matricielle des opérations élémentaires sur les lignes

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