Changements de bases

Plan du chapitre "Matrices et applications linéaires"

Matrice de passage d’une base à une autre

Proposition (inversibilité de la matrice d'une famille de vecteurs)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}, de dimension {n\ge1}, muni d’une base {e}.
Soit {v=(v_{j})_{1\le j\le n}} une famille de {n} vecteurs de {E} (autant donc que la dimension de {E}).
Soit {A} la matrice de la famille {v} dans la base {e}. C’est un élément de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}.
Alors la famille {v} est une base de {E} si et seulement si la matrice {A} est inversible.
Définition (matrice de passage d'une base à une autre)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}, de dimension {n\ge1}.
On suppose que {E} est muni de deux bases {e=(e_{i})_{1\le i\le n}} et {\varepsilon=(\varepsilon_{j})_{1\le j\le n}}.
La matrice de la famille {\varepsilon} dans la base {e} est appelée matrice de passage de {e} à {\varepsilon}.
Cette matrice est notée {P_e^\varepsilon}. D’après ce qui précède, elle est inversible.

Deux interprétations d’une matrice de passage

Avec les notations précédentes, la matrice de passage de {e} à {\varepsilon} est à la fois :

  • la matrice de l’identité, de {E} muni de {\varepsilon} vers {E} muni de {e} : {P_e^\varepsilon=\text{Mat}_{\varepsilon,e}(\text{Id}_E)}.
  • la matrice dans {e} de l’automorphisme {f} de {E} défini par : {\forall j\in\{1,\ldots,n\},\;f(e_j)=\varepsilon_j}.

Opérations entre matrices de passage

  • l’inverse de la matrice de passage {P_e^\varepsilon} de {e} à {\varepsilon} est la matrice de passage {P_\varepsilon^e} de {\varepsilon} à {e}.
  • si {\alpha}, {\beta} et {\gamma} sont trois bases de {E}, alors on a la relation : {P_\alpha^\gamma=P_\alpha^\beta\,P_\beta^\gamma}.

Effet d’un changement de base(s)

Proposition (changement de base pour les coordonnées d'un vecteur)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}, de dimension {n\ge1}, muni de deux bases {e} et {\varepsilon}.
Soit {P} la matrice de passage de {e} à {\varepsilon}. Pour tout {u} de {E} : {[u]_e=P\,[u]_{\varepsilon}}

On retiendra le paradoxe : la matrice de passage de l’ancienne base à la nouvelle
donne les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles.

Proposition (changement de base pour la matrice d'une application linéaire)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}, de dimensions respectives {p\ge1} et {n\ge1}.
On suppose que {E} est muni d’une ancienne base {e} et d’une nouvelle base {e’}.
De même soit {\varepsilon} l’ancienne base de {F}, et soit {\varepsilon’} la nouvelle base de {F}.
Soit {P} la matrice de passage de {e} à {e’}. Soit {Q} la matrice de passage de {\varepsilon} à {\varepsilon’}.
Soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}.
Soit {A} la matrice de {f} dans les bases {e} et {\varepsilon} (ancienne matrice de {f}).
Soit {B} la matrice de {f} dans les bases {e’} et {\varepsilon’} (nouvelle matrice de {f}).
Alors on a l’égalité : {B=Q^{-1}\,A\,P}.

Cas particulier important

Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}, de dimension {n\ge1}.
Soit {e} l’ancienne base de {E} et {e’} la nouvelle base de {E}.
Soit {f} un endomorphisme de {E}, de matrice {A} dans la base {e}, et de matrice {B} dans la base {e’}.
Soit {P} la matrice de passage de {e} à {e’}. Alors on a l’égalité : {B=P^{-1}\,A\,P}.

Matrices équivalentes et matrices semblables

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