Systèmes linéaires

Plan du chapitre "Matrices et applications linéaires"

Généralités et définitions

On appelle système linéaire de {n} équations, à {p} inconnues et à coefficients dans {\mathbb{K}} tout système d’équations de la forme : {\text{(S)\ }\begin{cases}a_{11}\,x_1+a_{12}\,x_2+\cdots+a_{1j}\,x_j+\cdots+a_{1p}\,x_p=b_1\cr a_{21}\,x_1+a_{22}\,x_2+\cdots+a_{2j}\,x_j+\cdots+a_{2p}\,x_p=b_2\cr \vdots\qquad\vdots\qquad\vdots\qquad\vdots\cr a_{i1}\,x_1\,+a_{i2}\,x_2\,+\cdots\,+a_{ij}\,x_j+\cdots+a_{ip}\,x_p=b_i\cr \vdots\qquad\vdots\qquad\vdots\qquad\vdots\cr a_{n1}\,x_1+a_{n2}\,x_2+\cdots+a_{nj}\,x_j+\cdots+a_{np}\,x_p=b_n\end{cases}}

{\vartriangleright} Matrice du système, et seconds membres

Les {a_{ij}} sont appelés les coefficients du système.
La matrice {A=(a_{i,j})}, élément de {{\mathcal M}_{n,p}(\mathbb{K})}, est appelée matrice du système.
Le rang de la matrice {A} est appelé le rang du système.
Les coefficients {b_1,\ldots,b_n} sont appelés seconds membres du système.

Le système (S) est dit triangulaire (ou en escaliers”, ou en cascades”) si la matrice {A} est triangulaire.
Il est dit carré si {n=p}. La matrice {A} est alors un élément de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.

{\vartriangleright} Inconnues et solutions

On dit que l’élément {(x_1,x_2,\ldots,x_p)} de {\mathbb{K}^p} est le {p}-uplet des inconnues du système.
On dit que {(x_1,x_2,\ldots,x_p)} est une solution du système si les valeurs {x_1,x_2,\ldots,x_p} satisfont à chacune des égalités figurant dans (S).

L’ensemble des solutions d’un système linéaire peut être vide ou non vide.
S’il est non vide, on verra qu’il est soit réduit à un seul élément de {\mathbb{K}^p} , soit infini.
Deux systèmes linéaires sont dits équivalents s’ils ont le même ensemble de solutions.

{\vartriangleright} Système homogène associé

Un système linéaire est dit homogène si ses seconds membres {b_i} sont nuls.
À un système (S) on associe un système homogène (H) en annulant les seconds membres.
Un système homogène possède au moins la solution {(0,0,\ldots,0)} dite solution triviale.

Interprétations d’un système linéaire

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