Noyau, image et rang d’une matrice

Plan du chapitre "Matrices et applications linéaires"

Application linéaire canoniquement associée

Considérons l’application qui à {u=(x_{1},x_{2},\ldots, x_{p})} associe la colonne {U=\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\x_{p} \end{pmatrix}}.
C’est un isomorphisme “canonique” de {\mathbb{K}^{p}} sur {\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})}.
Il permet d’identifier un {p}-uplet {u} avec la matrice colonne {U} correspondante, de hauteur {p}.

Soit {A} un élément de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.
L’application {\varphi\colon U\mapsto V=AU} est linéaire de {\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})} dans {\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})}.
À isomorphisme près, il s’agit donc d’une application linéaire de {\mathbb{K}^{p}} dans {\mathbb{K}^{n}}.

Soit par exemple {A=\begin{pmatrix}2&1&0&3\\ 0&4&1&5\\ 1&6&2&0 \end{pmatrix}} et {U=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\ x_{4} \end{pmatrix}}

Alors {V=AU=\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}, où {\begin{cases}y_{1}=2x_{1}+x_{2}+3x_{4}\\y_{2}=4x_{2}+x_{3}+5x_{4}\\y_{3}=x_{1}+6x_{2}+2x_{3}\end{cases}}

Dans cet exemple, on peut donc identifier :

  • l’application linéaire {\varphi\colon U\mapsto V=AU} de {\mathcal{M}_{4,1}(\mathbb{K})} dans {\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{K})}.
  • l’application linéaire {f\colon u=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\mapsto v=(y_{1},y_{2},y_{3})} de {\mathbb{K}^{4}} dans {\mathbb{K}^{3}}.
Définition (application linéaire canoniquement associée à une matrice)
Soit {A} un élément de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.

  • l’application {\varphi\colon U\mapsto V=AU} est linéaire de {\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})} dans {\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})}.
  • {A} est la matrice d’un unique {f} de {\mathcal{L}(\mathbb{K}^{p},\mathbb{K}^{n})} dans les bases canoniques.

L’application linéaire {\varphi} (ou l’application linéaire {f}) est dite canoniquement associée à {A}.

Compte-tenu de ce qui a été dit plus haut, on peut donc quasiment considérer que {f} et {\varphi} sont une seule et même application linéaire.
Dans la suite, on utilisera indifféremment l’une ou l’autre des deux terminologies.

Noyau, image et rang d’une matrice

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