Trace d’une matrice, d’un endomorphisme

Plan du chapitre "Matrices et applications linéaires"

Trace d’une matrice carrée

Définition (trace d'une matrice carrée)
Soit {A} une matrice carrée d’ordre {n}, à coefficients dans {\mathbb{K}}, de terme général {a_{ij}}.
On appelle trace de {A}, et on note {\text{Tr}(A)}, la somme {\displaystyle\sum_{i=1}^n a_{ii}} des coefficients diagonaux de {A}.
Proposition (linéarité de la trace)
L’application “trace” est une forme linéaire sur l’espace vectoriel {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}.
Ainsi pour toutes matrices {A} et {B} de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}, et tous {\alpha,\beta} de {\mathbb{K}}, on a : {\text{Tr}(\alpha A+\beta B)=\alpha\,\text{Tr}(A)+\beta\,\text{Tr}(B)}
Proposition (trace d'un produit de deux matrices)
Soient {A} une matrice de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})} et {B} une matrice de {{\mathcal M}_{p,n}(\mathbb{K})}.
La matrice {AB} est donc carrée d’ordre {n}, tandis que {BA} est carrée d’ordre {p}.
Les matrices carrées {AB} et {BA} ont la même trace : {\text{Tr}(AB)=\text{Tr}(BA)}

L’égalité {\text{Tr}(AB)=\text{Tr}(BA)} est vraie en particulier pour toutes matrices {A,B} de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}.

On ne doit pas généraliser abusivement à des produits de plus de deux matrices.
On peut par exemple écrire : {\begin{array}{rl}\text{Tr}{(ABC)}&=\text{Tr}{\bigl(A(BC)\bigr)}=\text{Tr}{\bigl((BC)A\bigr)}\\[6pts]&=\text{Tr}{(BCA)}\end{array}}On peut également écrire {\text{Tr}{(ABC)}=\text{Tr}{(CAB)}} (en échangeant {AB} et {C}).
Mais en général on a : {\text{Tr}{(ABC)}\ne\text{Tr}{(ACB)}}.

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