Le groupe symétrique

Plan du chapitre "Déterminants"

Permutations de l’ensemble {E_n=\{1,\ldots,n\}}

Définition (groupe symétrique d'indice n)
Pour tout entier {n\ge1}, on note {E_n=\{1,\ldots,n\}}.
On appelle permutation de {E_n} toute bijection de {E_n} sur lui-même.
On note {\mathcal{S}_n} l’ensemble de toutes les permutations de {E_n}.
L’ensemble {\mathcal{S}_n} est un groupe pour la loi de composition, appelé groupe symétrique d’indice {n}.
Le groupe {\mathcal{S}_n} est d’ordre {n!} et il est non commutatif dès que {n\ge3}.

Remarque : on écrira {\sigma_2\sigma_1} (plutôt que {\sigma_2\circ\sigma_1}) pour désigner la composée de {\sigma_1} par {\sigma_2}.

Un élément {\sigma} de {\mathcal{S}_n} est représenté par :{\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\ldots&n\cr\sigma(1)&\sigma(2)&\ldots&\sigma(n)\end{pmatrix}}En particulier l’application identité, neutre du groupe {\mathcal{S}_n}, se note {\text{Id}=\begin{pmatrix}1&2&\ldots&n\cr1&2&\ldots&n\end{pmatrix}}.

Par exemple, {\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\cr3&5&1&4&6&2\end{pmatrix}} représente l’élément {\sigma} de {\mathcal{S}_6} défini par : {\begin{array}{ccc}\sigma(1)=3&\sigma(2)=5&\sigma(3)=1\\[6pts]\sigma(4)=4&\sigma(5)=6&\sigma(6)=2\end{array}}On voit facilement que :{\sigma^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\cr 3&6&1&4&2&5\end{pmatrix}} (lire le tableau à partir de la deuxième ligne).

Si {n=1}, le groupe {\mathcal{S}_1} se réduit à l’application identité de {E_1=\{1\}} dans lui-même.

Si {n=2}, {\mathcal{S}_2=\{\text{Id},\sigma\}}, où {\sigma} est définie par : {\sigma(1)=2} et {\sigma(2)=1}.

Si {n=3}, {\mathcal{S}_3} est formé de six éléments : {\begin{array}{ll}\sigma_0=\text{Id}=\begin{pmatrix}1&2&3\cr1&2&3\end{pmatrix}& \sigma_1=\begin{pmatrix}1&2&3\cr1&3&2\end{pmatrix}&\\[9pts]\sigma_2=\begin{pmatrix}1&2&3\cr3&2&1\end{pmatrix}&\sigma_3=\begin{pmatrix}1&2&3\cr2&1&3\end{pmatrix}\\[9pts]\sigma_4=\begin{pmatrix}1&2&3\cr2&3&1\end{pmatrix}& \sigma_5=\begin{pmatrix}1&2&3\cr3&1&2\end{pmatrix}=\sigma_4^2\end{array}}Le groupe {(\mathcal{S}_3,\circ)} n’est pas commutatif : on vérifie par exemple que {\begin{cases}\sigma_1\,\sigma_3=\sigma_5\\\sigma_3\,\sigma_1=\sigma_4\end{cases}}

Cycles

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