Le groupe symétrique

Plan du chapitre "Déterminants"

Permutations de l’ensemble ${E_n=\{1,\ldots,n\}}$

Définition (groupe symétrique d'indice n)
Pour tout entier

{n\ge1}

, on note

{E_n=\{1,\ldots,n\}}

.
On appelle permutation de

{E_n}

toute bijection de

{E_n}

sur lui-même.
On note

{\mathcal{S}_n}

l’ensemble de toutes les permutations de

{E_n}

.
L’ensemble

{\mathcal{S}_n}

est un groupe pour la loi de composition, appelé groupe symétrique d’indice

{n}

.
Le groupe

{\mathcal{S}_n}

est d’ordre

{n!}

et il est non commutatif dès que

{n\ge3}

Remarque : on écrira ${\sigma_2\sigma_1}$ (plutôt que ${\sigma_2\circ\sigma_1}$ ) pour désigner la composée de ${\sigma_1}$ par ${\sigma_2}$ .

Un élément ${\sigma}$ de ${\mathcal{S}_n}$ est représenté par : ${\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\ldots&n\cr\sigma(1)&\sigma(2)&\ldots&\sigma(n)\end{pmatrix}}$ En particulier l’application identité, neutre du groupe ${\mathcal{S}_n}$ , se note ${\text{Id}=\begin{pmatrix}1&2&\ldots&n\cr1&2&\ldots&n\end{pmatrix}}$ .

Par exemple, ${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\cr3&5&1&4&6&2\end{pmatrix}}$ représente l’élément ${\sigma}$ de ${\mathcal{S}_6}$ défini par : ${\begin{array}{ccc}\sigma(1)=3&\sigma(2)=5&\sigma(3)=1\\[6pts]\sigma(4)=4&\sigma(5)=6&\sigma(6)=2\end{array}}$ On voit facilement que : ${\sigma^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\cr 3&6&1&4&2&5\end{pmatrix}}$ (lire le tableau à partir de la deuxième ligne).

Si ${n=1}$ , le groupe ${\mathcal{S}_1}$ se réduit à l’application identité de ${E_1=\{1\}}$ dans lui-même.

Si ${n=2}$ , ${\mathcal{S}_2=\{\text{Id},\sigma\}}$ , où ${\sigma}$ est définie par : ${\sigma(1)=2}$ et ${\sigma(2)=1}$ .

Si ${n=3}$ , ${\mathcal{S}_3}$ est formé de six éléments : ${\begin{array}{ll}\sigma_0=\text{Id}=\begin{pmatrix}1&2&3\cr1&2&3\end{pmatrix}& \sigma_1=\begin{pmatrix}1&2&3\cr1&3&2\end{pmatrix}&\\[9pts]\sigma_2=\begin{pmatrix}1&2&3\cr3&2&1\end{pmatrix}&\sigma_3=\begin{pmatrix}1&2&3\cr2&1&3\end{pmatrix}\\[9pts]\sigma_4=\begin{pmatrix}1&2&3\cr2&3&1\end{pmatrix}& \sigma_5=\begin{pmatrix}1&2&3\cr3&1&2\end{pmatrix}=\sigma_4^2\end{array}}$ Le groupe ${(\mathcal{S}_3,\circ)}$ n’est pas commutatif : on vérifie par exemple que ${\begin{cases}\sigma_1\,\sigma_3=\sigma_5\\\sigma_3\,\sigma_1=\sigma_4\end{cases}}$

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