Déterminant d'une matrice

Plan du chapitre "Déterminants"

Déterminant d’une matrice carrée

Définition (déterminant d'une matrice carrée)
Soit

{A=(a_{ij})}

un élément de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

.
On pose

{\det(A)=\displaystyle\sum_{\sigma}\varepsilon(\sigma)\displaystyle\prod_{j=1}^na_{\sigma(j)j}}

(somme étendue aux

{n!}

permutations

{\sigma}

{\{1,2,\ldots,n\}}

Cette définition, qui exprime ${\det(A)}$ comme une expression développée des coefficients, est « neutre ».

En variant les points de vue, on aboutit en fait à plusieurs définitions équivalentes possibles…

Définitions équivalentes du déterminant d’une matrice carrée

Soit ${A=(a_{ij})}$ une matrice carrée d’ordre ${n}$ à coefficients dans ${\mathbb{K}}$ .

Soit ${C_{1},C_{2},\ldots,C_{n}}$ les vecteurs-colonne de ${A}$ , considérés comme des éléments de ${\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})}$ .
Alors ${\det(A)}$ est le déterminant de la famille ${(C_{j})_{1\le j\le n}}$ dans la base canonique de ${\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})}$ .
Soit ${v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}}$ les vecteurs-colonne de ${A}$ , considérés comme des éléments de ${\mathbb{K}^{n}}$ .
Alors ${\det(A)}$ est le déterminant de la famille ${(v_{j})_{1\le j\le n}}$ dans la base canonique de ${\mathbb{K}^{n}}$ .
Soit ${E}$ un espace vectoriel quelconque sur ${\mathbb{K}}$ , de dimension ${n}$ , muni d’une base ${e=(e_{i})_{1\le i\le n}}$ .
Soit ${v=(v_{j})_{1\le j\le n}}$ la famille de ${E}$ telle que ${A=\text{Mat}_{e}(v)}$ : alors ${\det(A)=\det_{e}(v)}$ .
Soit ${f\colon \mathbb{K}^{n}\to\mathbb{K}^{n}}$ , linéaire, de matrice ${A}$ dans la base canonique de ${\mathbb{K}^{n}}$ : alors ${\det(A)=\det(f)}$ .

En Python, on dispose de la fonction det, dans le module np.linalg.

Dans l’exemple ci-dessous, on forme une matrice aléatoire d’ordre ${3}$ , à coefficients entiers dans ${[[0,9]]}$ , et on calcule son déterminant. Le résultat est renvoyé au format float, mais c’est ici ${\det(A)=42}$ qu’il faut comprendre.

>>> import numpy as np

>>> a = np.random.randint(10, size=(3, 3))

>>> print(a)

[[8 3 3]

[0 3 1]

[1 9 5]]

>>> np.linalg.det(a)

41.999999999999986

Déterminants et matrices de passage

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres
ou consulter le plan du site

Page précédente : déterminant d’un endomorphisme
Page suivante : calcul des déterminants