Déterminants et orientation

Plan du chapitre "Déterminants"

Orientation d’un espace réel de dimension finie

Proposition (orientation d'un espace réel de dimension finie)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{R}}, de dimension {n\ge1}.
Soit {\mathcal{B}} et {\mathcal{B}'} deux bases de {E}. Soit {P} la matrice de passage de {\mathcal{B}} à {\mathcal{B}'}.
Si {\det P>0}, on dit que la base {\mathcal{B}'} a la même orientation que la base {\mathcal{B}}.
On définit ainsi une relation d’équivalence sur l’ensemble des bases de {E}.
Pour cette relation, il y a exactement deux classes d’équivalence.
Orienter {E}, c’est choisir l’une de ces deux classes.
— les bases de la classe d’équivalence choisie sont dites directes.
— les bases de l’autre classe d’équivalence sont dites indirectes.

Effet d’une permutation des vecteurs de base

Supposons que la base {\mathcal{B}'} se déduise de {\mathcal{B}} par une permutation {\sigma} sur les vecteurs de {\mathcal{B}}.

  • si {\sigma} est une transposition, alors {\mathcal{B}} et {\mathcal{B}'} sont d’orientation contraire.
  • si {\sigma} est une permutation paire, les bases {\mathcal{B}} et {\mathcal{B}'} sont de même orientation.
  • si {\sigma} est une permutation impaire, alors elles sont d’orientation contraire.

Effet de l’opération {u\mapsto -u} sur l’orientation d’une base

Si on passe de {\mathcal{B}} à {\mathcal{B}'} en changeant un vecteur en son opposé alors {\mathcal{B},\mathcal{B}'} sont d’orientation contraire.

Par exemple, si {\dim(E)=2}, supposons que {(u,v)} soit une base directe de {E}.

  • les bases {(-u,v)}, {(u,-v)}, {(v,u)} et {(-v,-u)} sont indirectes.
  • les bases {(u,v)}, {(-u,-v)}, {(v,-u))}, et {(-v,u)} sont directes.

De même, si {\dim(E)=3}, supposons que {(u,v,w)} soit une base directe de {E}.

  • les bases {(-u,v,w)}, {(u,-v,w)}, {(u,v,-w)} et {(-u,-v,-w)} sont indirectes.
  • les bases {(v,u,w)}, {(w,v,u)}, {(u,w,v)} sont indirectes, etc.
  • les bases {(u,v,w)}, {(u,-v,-w)}, {(-u,v,-w)}, et {(-u,-v,w)} sont directes.
  • les bases {(v,w,u)}, {(w,u,v)} sont directes, etc.

En résumé: il y a toujours deux orientations possibles sur un {\mathbb{R}}-espace vectoriel de dimension finie.
Le choix de la classe des bases dites positives est arbitraire.
Néanmoins on orientera toujours {\mathbb{R}^{n}} en décrétant que sa base canonique est directe.

Si {n=2}, le déterminant est une aire orientée

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Page précédente : calcul des déterminants
Retour au début : le groupe symétrique