Déterminant d'un endomorphisme

Plan du chapitre "Déterminants"

Déterminant d’un endomorphisme

Proposition
Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel de dimension

{n\ge1}

. Soit

{f}

un endomorphisme de

{E}

.
Le scalaire

{\det_e(f(e_1),f(e_2),\ldots,f(e_n))}

est indépendant de la base

{e}

choisie dans

{E}

.
On l’appelle le déterminant de l’endomorphisme

{f}

, et on le note

{\det(f)}

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Propriétés immédiates

Par définition, le déterminant d’un endomorphisme ${f}$ est égal au déterminant dans la base ${e}$ des images par ${f}$ des vecteurs de ${e}$ , et ceci pour toute base de ${E}$ .

En particulier, le déterminant de l’application ${\text{Id}}$ vaut ${1}$ .
En effet ce déterminant est égal à ${\det_e(e_1,e_2,\ldots,e_n)}$ , pour une base ${e}$ quelconque.

Pour tout endomorphisme ${f}$ , tous vecteurs ${u_1,u_2,\ldots,u_n}$ , et toute base ${e}$ , on a : ${\det_e(f(u_1),\cdots,f(u_n))=\det(f)\;\det_e(u_1,\ldots,u_n)}$

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