Formes n-linéaires alternées

Plan du chapitre "Déterminants"

Applications multilinéaires

Définition (applications multilinéaires)
Soient

{E,F}

deux espaces vectoriels sur

{\mathbb{K}}

. Soit

{f}

une application de

{E^n}

dans

{\mathbb{K}}

, avec

{n\ge1}

.
On dit que

{f}

est

{n}

-linéaire si, pour tout

{i\in\{1,\ldots,n\}}

et pour tous vecteurs

{u_1,\ldots,u_{i-1},u_{i+1},\ldots,u_n}

, l’application

{f_i\,\colon E\to F}

définie par :

{f_i(v)=f(u_1,\ldots,u_{i-1},v,u_{i+1},\ldots,u_n)}

est linéaire.

Une application ${f\colon E^n\to F}$ est donc ${n}$ -linéaire (on dit aussi « multilinéaire ») si elle est « linéaire par rapport à chacune de ses variables quand on fixe toutes les autres ».

Remarques et propriétés

Pour ${n=1}$ , la ${n}$ -linéarité se confond avec la linéarité.
Si ${n=2}$ , on parle d’application bilinéaire. Si ${n=3}$ , on parle d’application trilinéaire.
Si ${F=\mathbb{K}}$ , on parle de forme ${n}$ -linéaire.
Si ${f:E^n\to F}$ est ${n}$ -linéaire et si l’un des ${u_i}$ est nul, alors ${f(u_1,u_2,\ldots,u_n)=0}$ .
Cela résulte en effet de la linéarité par rapport à la ${i}$ -ième composante.
Une application ${f}$ de ${E^2}$ dans ${F}$ est bilinéaire si et seulement si, pour tous vecteurs ${x,y,u,v}$ de ${E}$ , et pour tous scalaires ${\alpha,\beta,\gamma,\delta}$ : ${\begin{array}{l}f(\alpha x+\beta y,\gamma u+\delta v)\\[6pts]=\alpha f(x,\gamma u+\delta v)+\beta f(y,\gamma u+\delta v)\\[6pts]=\alpha\gamma f(x,\!u)\!+\!\alpha\delta f(x,\!v)\!+\!\beta\gamma f(y,\!u)\!+\!\beta\delta f(y,\!v)\end{array}}$
Si ${n\ge 2}$ , on ne confondra pas linéarité et ${n}$ -linéarité.
Par exemple, si ${f}$ est linéaire :
${f(\lambda u_1,\lambda u_2,\ldots,\lambda u_n)=\lambda f(u_1,u_2,\ldots,u_n)}$ Mais si ${f}$ est ${n}$ -linéaire : ${f(\lambda u_1,\lambda u_2,\ldots,\lambda u_n)=\lambda^n f(u_1,u_2,\ldots,u_n)}$ De même, si ${n=2}$ , et si ${f}$ est linéaire : ${\begin{array}{rl}f(x+y,u+v)&=f(x,u)+f(y,v)\\[6pts]&=f(x,v)+f(y,u)\end{array}}$ Toujours si ${n=2}$ , mais si ${f}$ est bilinéaire :
${\begin{array}{l}f(x+y,u+v)\\[6pts]=f(x,u)+f(x,v)+f(y,u)+f(y,v)\end{array}}$

Formes multilinéaires alternées

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