Déterminant dans une base

Plan du chapitre "Déterminants"

Application « déterminant dans une base »

Proposition (forme nécessaire d'une forme n-linéaire alternée)
Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel de dimension

{n\ge1}

, muni d’une base

{e=(e_i)_{1\le i\le n}}

.
Soit

{f\colon E^n\to\mathbb{K}}

une forme

{n}

-linéaire alternée sur

{E}

. Posons

{\lambda=f(e_1,e_2,\ldots,e_n)}

.
Alors l’application

{f}

est déterminée de manière unique par le scalaire

{\lambda}

.
Plus précisément, soit

{u_1,u_2,\ldots,u_n}

des vecteurs de

{E}

, de matrice

{A=(a_{i,j})}

dans

{e}

.
Alors

{f(u_1,u_2,\ldots,u_n)=\lambda\Bigl(\displaystyle\sum_{\sigma}\varepsilon(\sigma)\displaystyle\prod_{j=1}^na_{\sigma(j)j}\Bigr)}

(somme sur les ${n!}$ permutations ${\sigma}$ de ${\{1,\ldots,n\}}$ )

Définition (application déterminant dans une base)
Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel de dimension

{n\ge1}

, muni d’une base

{e=(e_i)_{1\le i\le n}}

.
Soit

{u=(u_j)_{1\le j\le n}}

une famille de

{n}

vecteurs de

{E}

.
Soit

{A=(a_{i,j})}

sa matrice dans la base

{e}

.
On pose

{\det_e(u_1,u_2,\ldots,u_n)=\displaystyle\sum_{\sigma}\varepsilon(\sigma)\displaystyle\prod_{j=1}^na_{\sigma(j)j}}

(somme étendue aux ${n!}$ permutations ${\sigma}$ de ${\{1,\ldots,n\}}$ )
L’application ${\det_e\colon E^n\to\mathbb{K}}$ est appelée « application déterminant dans la base ${e}$ ».

Cas particulier des petites dimensions

Si ${n=1}$ ( ${E}$ est une droite vectorielle), soit ${e}$ un vecteur non nul de ${E}$ .
Pour tout vecteur ${u=a e}$ de ${E}$ , on a : ${\det_e(u)=a}$ .
Si ${n=2}$ : Soit ${e=(e_1,e_2)}$ une base du plan ${E}$ .
Soit ${\begin{cases}u=a e_1+a' e_2\\v=b e_1+b' e_2\end{cases}}$ , donc ${A=\begin{pmatrix}a&b\\ a'&b'\end{pmatrix}}$ .
Alors ${\det_e(u,v)=ab'-a'b}$ .
Si ${n=3}$ : Soit ${e=(e_1,e_2,e_3)}$ une base de ${E}$ .
Soit ${\begin{cases}u=a e_1+a' e_2+a''e_3\\v=b e_1+b' e_2+b''e_3\\w=c e_1+c' e_2+c''e_3\end{cases}}$
Ainsi ${A=\begin{pmatrix}a&b&c\\ a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{pmatrix}}$ . Alors : ${\begin{array}{rl}\det_e(u,v,w)&=a\,b'\,c''-a\,b''\,c'-a'\,b\,c''\\[9pts]&\quad+a'\,b''\,c+a''\,b\,c'-a''\,b'\,c\end{array}}$

Proposition (l'application Det_{e} est n-linéaire alternée, et non nulle)
Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel de dimension

{n\ge1}

. Soit

{e=(e_i)_{1\le i\le n}}

une base de

{E}

.
Alors l’application

{\det_e\colon E^n\to\mathbb{K}}

est

{n}

-linéaire alternée sur

{E}

.
De plus elle vérifie

{\det_e(e_1,e_2,\ldots,e_n)=1}

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