Calcul des déterminants

Plan du chapitre "Déterminants"

Déterminants et opérations élémentaires

Les propriétés des déterminants découlent ce qu’ils représentent des fonctions multilinéaires alternées de leurs colonnes (et aussi de leurs lignes).

Dans l’énoncé des propriétés suivantes (exprimées en termes de colonnes, mais qui pourraient l’être en termes de lignes), on note ${\Delta}$ un déterminant d’ordre ${n}$ .

On confond « la valeur » ${\Delta}$ et « le tableau » ${\Delta}$ .

Avec cette convention :

La valeur d’un déterminant ${\Delta}$ dépend linéairement de chacune de ses colonnes (de ses lignes).

Si on multiplie une colonne (une ligne) par ${\lambda}$ , la valeur de ${\Delta}$ est multipliée par ${\lambda}$ .

En particulier, pour toute ${A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}$ , et tout ${\lambda\in\mathbb{K}}$ , on a: ${\det(\lambda A)=\lambda ^{n}\det(A)}$ .
Si on échange deux colonnes (deux lignes) de ${\Delta}$ , la valeur de ${\Delta}$ est changée en son opposé.

Plus généralement, si on effectue une permutation sur les colonnes (sur les lignes) de ${\Delta}$ , la valeur de ${\Delta}$ est inchangée (resp. changée en son opposé) selon que cette permutation est paire ou impaire, c’est-à-dire selon qu’elle se décompose en un nombre pair ou impair d’échanges.
On ne modifie pas la valeur de ${\Delta}$ en ajoutant à l’une de ses colonnes (de ses lignes) une combinaison linéaire des autres colonnes (des autres lignes) de ${\Delta}$ .
La valeur du déterminant ${\Delta}$ est nulle si et seulement si ses colonnes (ses lignes) sont liées.

En particulier, si ${\Delta}$ contient une colonne (ou une ligne) nulle, alors la valeur de ${\Delta}$ est nulle.

On va résumer en termes d’opérations élémentaires sur les lignes (ou colonnes) :

Proposition (effet d'une opération élémentaire sur un déterminant)
Soit

{A}

dans

{{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}

, et

{A'}

obtenue en appliquant à

{A}

une opération élémentaire

{\varphi}

.
Soit

{\Delta=\det(A)}

{\Delta'=\det(A')}

si ${\varphi}$ est l’opération ${\text{C}_{i}\leftarrow \alpha_{i}\text{C}_i}$ (ou ${\text{L}_{i}\leftarrow \alpha\text{L}_{i}}$ ), avec ${\alpha\ne0}$ , alors ${\Delta'=\alpha\Delta}$ .
si ${\varphi}$ est l’opération ${\text{C}_{i}\leftrightarrow \text{C}_{j}}$ (ou ${\text{L}_{i}\leftrightarrow \text{L}_{j}}$ ), alors ${\Delta'=-\Delta}$ .
si ${\varphi}$ est l’opération ${\text{C}_{i}\leftarrow \text{C}_{i}+\beta_{j}\text{C}_{j}}$ (ou ${\text{L}_{i}\leftarrow \text{L}_{i}+\beta\text{L}_{j}}$ ), avec ${j\ne i}$ , alors ${\Delta'=\Delta}$ .

Développement d’un déterminant, comatrice

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