Généralités sur les suites

Plan du chapitre "Suites numériques"

Suites d’un ensemble quelconque

Définition (suites d'éléments d'un ensemble E)
Une suite d’éléments d’un ensemble

{E}

est une fonction (une application) de

{\mathbb{N}}

dans

{E}

.
Il revient au même de dire que

{u}

est une famille d’éléments de

{E}

indicée par

{\mathbb{N}}

.
Plutôt que de noter

{u(n)}

l’image d’un entier

{n}

, on note en général

{u_n}

.
La suite

{u}

est elle-même notée

{(u_n)_{n\in \mathbb{N}}}

, ou

{(u_n)_{n\ge0}}

, ou simplement

{(u_{n})}

.
On dit que

{u_{n}}

est le terme d’indice ${n}$ (ou terme général) de la suite

{u}

, et que

{u_0}

en est le terme initial.

Suites numériques

On parle de suite numérique si ${E=\mathbb{R}}$ ou ${\mathbb{C}}$ , réelle si ${E=\mathbb{R}}$ , complexe si ${E=\mathbb{C}}$ .

La donnée d’une suite complexe ${(z_n)_{n\ge0}}$ équivaut à celle de deux suites réelles ${(u_n)_{n\ge 0}}$ et ${(v_n)_{n\ge 0}}$ définies par : ${\forall\, n\in\mathbb{N},z_n=u_n+iv_n}$ , c’est-à-dire ${u_n=\text{Re}(z_n)}$ et ${v_n=\text{Im}(z_n)}$ .

Conformément au programme, l’essentiel de ce chapitre est consacré aux suites réelles.

Remarques importantes

Deux suites ${(u_n)_{n\ge0}}$ et ${(v_n)_{n\ge0}}$ sont égales si et seulement si ${u_n=v_n}$ pour tout ${n}$ .

Il suffit donc qu’il existe au moins un entier ${n}$ tel que ${u_{n}\ne v_{n}}$ pour que les deux suites soient considérées comme distinctes.

On ne confondra pas une suite ${u}$ (c’est-à-dire une fonction définie sur ${\mathbb{N}}$ ) avec l’ensemble des valeurs que prend cette fonction. Par exemple, les suites ${n\mapsto u_n=(-1)^n}$ et ${n\mapstov_n=(-1)^{n+1}}$ sont distinctes (on a même ${u_{n}\ne v_{n}}$ pour tout ${n}$ ), mais ont le même ensemble de valeurs ${\{-1,1\}}$ .

Enfin, on ne confondra jamais la suite ${(u_{n})_{n\ge0}}$ avec son terme général ${u_{n}}$ .
Ceci est particulièrement important si on choisit la notation ${(u_{n})}$ pour désigner la suite ${u}$ .

Suites périodiques, stationnaires

On dit qu’une suite ${(u_{n})_{n\ge0}}$ est constante s’il existe un élément ${a}$ tel que : ${\forall\, n\in\mathbb{N},\; u_{n}=a}$ .

On dit qu’elle est stationnaire s’il existe un élément ${a}$ et un entier ${n_{0}}$ tel que : ${\forall\, n\ge n_{0},\; u_{n}=a}$ .

On dit qu’elle est ${p}$ -périodique (avec ${p\in\mathbb{N}^*}$ si : ${\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n+p}=u_n}$ .
Le plus petit ${p}$ de ${\mathbb{N}^{*}}$ ayant cette propriété est appelé la période de la suite ${u}$ .

Suites définies « à partir d’un certain rang »

On est souvent amené à considérer des suites définies non sur ${\mathbb{N}}$ , mais sur ${[[ n_{0},+\infty[}$ ( ${n_{0}}$ dans ${\mathbb{N}}$ ).
Dans ce cas, le terme initial de la suite est bien sûr ${u_{n_{0}}}$ , et la suite elle-même est notée ${(u_{n})_{n\ge n_{0}}}$ .

Cela n’a pas vraiment d’importance dans la mesure où les propriétés essentielles des suites numériques, notamment en ce qui concerne les limites, sont encore vraies si les hypothèses (majoration, monotonie par exemple) sont vraies « à partir d’un certain rang ».

C’est pour cette raison que la notation ${(u_{n})}$ est encore acceptable pour désigner une telle suite ${u}$ .

Une suite stationnaire est une suite « constante à partir d’un certain rang ».

Dans la suite, on considéra des suites ${(u_{n})_{n\ge0}}$ (une suite ${(v_{n})_{n\ge n_{0}}}$ s’y ramène en posant ${u_{n}=v_{n-n_{0}}}$ ).

Suites majorées, minorées, bornées

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