Extension aux suites complexes

Plan du chapitre "Suites numériques"

Limite d’une suite complexe

Définition (définition d'une suite complexe)
Une suite complexe {z=(z_{n})_{n\ge0}} est une fonction de {\mathbb{N}} dans {\mathbb{C}}.
Elle est définie de façon unique par deux suites réelles {x,y} en notant : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;z_{n}=x_{n}+iy_{n}}.
Il revient au même d’écrire : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n}=\text{Re}(z_{n})\;\text{et}\; y_{n}=\text{Im}(z_{n})}.
On dit que {(x_{n})_{n\ge0}} est la partie réelle de la suite {(z_{n})_{n\ge0}}, et {(y_{n})_{n\ge0}} sa partie imaginaire.
Définition (limite d'une suite complexe)
Soit {(z_n)_{n\ge0}} une suite de nombres complexes. Soit {\ell} un nombre complexe.
On dit que la suite {z} tend vers {\ell} si : {\forall\,\varepsilon>0,\exists\, N\in\mathbb{N},\;n\ge N\Rightarrow|z_n-\ell|\le\varepsilon }On exprime aussi cette situation en disant que la suite {(z_{n})_{n\ge0}} est convergente vers {\ell}.

Remarques

  • La définition précédente est la même que pour les suites réelles convergentes, mais il s’agit ici du module (qui généralise la notion de valeur absolue dans {\mathbb{R}}).
  • La définition précédente peut aussi s’énoncer : la suite {z} tend vers {\ell} si tout disque fermé centré en {\ell} (et de rayon strictement positif) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
  • On a encore la propriété d’unicité de la limite (si existence), ce qui permet d’écrire {\ell =\lim z_{n}}.
  • Si {(z_n)_{n\ge0}} une suite complexe, ça n’a aucun sens de dire qu’elle tend vers {+\infty} ou {-\infty}.
    Si {(z_n)_{n\ge0}} n’admet pas de limite (c’est-à-dire si elle n’est pas convergente), elle est dite divergente.
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